Вуль Владислав Аркадьевич

Ответ на «: n^3-n=k^2-k»

Равенства нет.
Настрогайте еще хотя бы одно, буду Вам очень признателен. :-)

Ответ на «: n^3-n=k^2-k»

Итак, в первом сравнение заменим 6 на 9 в первом слагаемом под внутренним корнем, а во втором слагаемом — на 8. Тем самым достигается равенство вновь сравниваемых чисел. Из этого следует, что первое число в исходной задаче меньше второго.
Для второго сравнения соответствующие замены — 225 и 216.

Для числа 6 получилось воспроизвести бесконечную цепочку повторяющихся действий, так как оно представимо в следующем виде: [m]6=2^3-2=3^2-3[/m]. Число 210 обладает тем же свойством: [m]210=6^3-6=15^2-15[/m]. В общем виде все числа, обладающие таким свойством, задаются системой [m]x=n^3-n=k^2-k[/m]. Или, другими словами, интересует нахождение таких натуральных чисел, которые представимы как в виде произведения 2, так и в виде произведения 3 последовательных чисел.
[m]6=2\cdot3=1\cdot2\cdot3;[/m]
[m]210=14\cdot15=5\cdot6\cdot7.[/m]

Ответ на «Новогоднее уравнение. :-)»

У Игоря Владимировича принципиально другой способ описан.

Человека, защитившего диплом по функциональным уравнениям, менее вдохновляет функциональный способ. Шутить изволите? ;-)

Ответ на «Новогоднее уравнение. :-)»

Можно было догадаться, что число 2012 взято в качестве произвольного, как это часто делается в задачах, привязанных к году, и обозначить его за переменную, относительно которой решается квадратное уравнение, как это показал Рамиль.
Помнится, когда-то давно на форуме Реутская Татьяна Дмитриевна выкладывала решение этой задачи с числом 5 вместо 2012. Очень жаль, что она теперь не участвует в обсуждениях. Был бы рад снова ее здесь видеть. :-)

Ответ на «Новогоднее уравнение. :-)»

Круто, Александр Викторович! В который раз вижу как у Вас функциональные методы здорово развиты.
Есть и другой изящный подход. :-)

Ответ на «Новогоднее уравнение. :-)»

Это уже можно засчитать. А если домножить числитель и знаменатель каждой дроби на 2, то внешние корни извлекутся.
Но я имел ввиду другой способ. Пока не буду писать, вдруг кто-то догадается.

Ответ на «помогите решить»

Возьмите учебник или задачник по теории вероятности, например, вот этот:
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
Задачи, аналогичные Вашим, там очень понятно и подробно разобраны. Успехов в изучении. Если возникнут конкретные вопросы, задавайте.

Ответ на «Найти количество решений уравнения.»

Да, подразумевалось именно это решение. Красивая идея.
Задачу, конечно, можно решить и в лоб, но для этого придется нарисовать 8-зубчатую пилу. :-)

Ответ на «Геометрия. Зачет»

Наша помощь заключается в том, что мы даем советы, подсказываем в ходе решения, помогаем найти ошибки в рассуждениях. Но решать за кого-то его задачи, а тем более заданные на дом никто не будет. Попытайтесь разобраться самостоятельно, и если возникнут конкретные вопросы (не "решите за меня"), то мы Вам с удовольствием поможем.

Ответ на «C4+C6.»

Интересный подход, Александр Викторович. Спасибо.
Буду рад, если кто-то еще предложит что-то оригинальное.
Я, в свою очередь, выложу решение, полученное с применением теоремы Менелая.

Для треугольника BCR и прямой AQ применим теорему Менелая.
[m]\frac{n}{1} \cdot \frac{n+1}{1} \cdot \frac{RK}{KB}=1;[/m]
[m]\frac{RK}{KB}=\frac{1}{n(n+1)}.[/m]
То же самое сделаем с треугольником ABM и прямой PC.
[m]\frac{n}{1} \cdot \frac{BL}{LR} \cdot \frac{n}{n+1}=1;[/m]
[m]\frac{BL}{LR}=\frac{n+1}{n^2}.[/m]
Таким образом [m]RK:KL:LB=1:(n^2-1):(n+1)[/m].
Аналогичное отношение верно и для других отрезков, заключенных внутри треугольника ABC.
Последующие преобразования мало чем отличаются от преобразований Александра Викторовича, так что выкладывать их не вижу смысла.
Отмечу только тот факт, что отношение площадей треугольников можно записать красивой формулой
[m]\frac{{S}_{ABC}}{{S}_{KLM}}=\frac{n^3-1}{(n-1)^3}.[/m]