Задача С5

При каких значениях параметра Система xy>0
y=ax+1
(|x|-5)^2+(|y|-5)^2=9
имеет единственное решение?
Дошла до того, что надо вычислить точку касания прямой и окружности, но вычислить не могу. Подскажите как

Воспользуйтесь тем, что прямая имеет одну точку пересечения с окружностью тогда и только тогда, когда они касаются

1) Наташа, Вы просите подсказать, как вычислить точку касания прямой и окружности.
Но не вполне понятно, какую прямую и какую окружность Вы имеете в виду.
Если бы Вы задали конкретный вопрос, например, как вычислить точку касания
прямой y=1 и окружности x^2+y^2=1, то можно было бы подумать, как ответить
на такой вопрос. А пока вопроса как бы и нет.

2) А что если попробовать рассмотреть различные случаи, при которых можно
избавиться от модулей? Например, если x<0 и y<0, то |x|=..., |y|=..., и
так далее.

Я уже это все рассмотрела и использовала! Нарисовала. Получила единственную точку касания в 1 четверти окружности, которая задана и прямой, которая в условии есть. Если вычислить точку касания х,у и подставить в уравнение прямой, то найдется значение параметра а! Как вычислить координаты этой точки??!!! напрямую через решение 2-х кв. уравнений не получается! может есть какой другой способ?

Наташа, а что именно у вас не получается? Подставить уравнение прямой в уравнение окружности или приравнять дискриминант к нулю? Приведите, пожалуйста, ваши вычисления, чтобы было, о чем говорить

То как вы делаете, должно получаться. Стоит заметить, что нет необходимости вычисления координат точки касания, достаточно вычислить лишь значение a, при котором это касание достигается. К тому же, касание в единственной точке получается не только в первой четверти, но и в третьей.
Другой способ тоже есть В данном случае его полезность проявляется не достаточно ярко, но все равно проявляется. Если бы в задании было уравнение y=a(x+1)+1 вместо y=ax+1, то он значительно бы облегчал решение.
Способ заключается в геометрическом нахождении угла наклона касательной, тангенс которого равен a. Для этого через точку вращения прямой проводится горизонтальная линия, также эта точка соединяется с центром окружности. Теперь искомый угол определяется через сумму или разность углов, образованных касательной и проведенными прямыми. Для реализации решения необходимо владеть обратными тригонометрическими функциями, но зато оно займет пару строк.

Я про 3 четверть тоже знаю, спасибо. Просто вычислив в одной четверти, можно и в другой. Я не могу понять как вычислить это значение параметра а в точке касания... Я попробовала через тангенсы известных углов, вроде получилось и несложно, но все равно как найти это значение а, без тангенсов и нахождения координат точки касания???

Нахождение координат точки касания производить не нужно ни в том, ни в другом способе.
Если не использовать тангенсы, то решение следует проводить, подставляя y в уравнение окружности, находя дискриминант уравнения, зависящий от a и приравнивая его к 0.Должно получиться 2 корня, 1 из которых подходит, а другой отметается из логических соображений.

Спасибо. Решила Вашими способами, все получилось. Смущает только одно — логические соображения, на экзамене так и писать? Хотя наверно можно сослаться на чертеж? Типа тангенс должен быть меньше 1?

Ссылки на ограничение значения тангенса достаточно.

Наверно я в вычислениях все время ошибаюсь(((

Наташа, еще раз повторяю, приведите свои вычисления. Тогда вам смогут подсказать, что вы делаете неправильно. У меня лично сложилось впечатление, что вы в общем движетесь верно, но точнее сказать, не видя ваши выкладки, не получится.

И я так и не поняла, вы пробовали подставлять уравнение прямой в уравнение окружности или нет? Если да, приведите выкладки

Спасибо, все подставила-)

(x*y^2-3xy-3y+9)/(x+3)^1/2=0
y=ax.При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно два корня?
У меня получилось при 1 и 1/3 так как дискрименант больше нуля

Даны окружность x^2+y^2+ax+by+c=0 и точка M(х0,у0), лежащая вне этой окружности. Через точку M проведена касательная к окружности. Найти расстояние от точки M до точки касания. Вот такая вот фигня, в голове картинка есть а решения нет :(

Задача из Козко, параграф 8 № 15. ответ а = sqrt (3/2)
Найти все а при которых единственное решение:
[m]\sqrt[4]{{x}^{2}-6ax+10{a}^{2}}+\sqrt[4]{3+6ax-{x}^{2}-10{a}^{2}}\geq \sqrt[4]{\sqrt{3}a+24-\frac{3}{\sqrt{2}}+\left|y-\sqrt{2}{a}^{2} \right|+\left|y-\sqrt{3}a \right|}[/m]

Думаю, что нижняя крышка графика суммы модулей должна превоатиться в точку. Подскажите, пожалуйста, как решить.

Книга Козко А.И. C5 ЕГЭ 2011. Математика. параграф 8 № 12
Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение.
[m]\left\{\begin{matrix}
3\cdot 2^{x}+5|x|+4=3y+5x^{2}+3a\\
x^{2}+y^{2}=1
\end{matrix}\right[/m]

возможные значения а найдены: 4/3 и 10/3. вопрос в том, как из них выбрать тот, при котором будет единственное решение?

Найти все значения параметра a, при каждом из которых система имеет: единственное решение, два решения, четыре решения
[m]\sqrt{4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+68x-36y+37}+\sqrt{4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-52x+28y+218}-a=0[/m]
[m]2xy+7x+8=0[/m]

При каких значениях параметра а сумма S квадратов корней уравнения является наибольшей. Чему равна эта сумма?

[m]{{x}^{2}}+2ax+2{{a}^{2}}+4a+3=0[/m]

Это задача из сборника Корянова. В школе говорят, что ответ неправильный , т.к. при а=3 дискриминант равен 0.