Задача по геометрии

В тетраэдре ABCD на рёбрах AB, BC, CD и AD выбраны точки K, L, M и N соответственно такие, что AL ∶ KD = 3: 4, BL ∶ LC = 2 ∶ 5, CD : MD = 5 ∶ 4 и AN ∶ ND = 2 ∶ 7. Верно ли, что точки точки K L M N лежат на в одной плоскости?

Дан неравнобедренный треугольник ABC. На его сторонах AB и BC отмечены точки K и L такие, что прямые KL и AC параллельны. Отрезки AL и KC пересекаются в точке S. Известно, что AK=AS и KL=LC. Докажите, что AL=KB.

Дан неравнобедренный треугольник ABC. На его сторонах AB и BC отмечены точки K и L такие, что прямые KL и AC параллельны. Отрезки AL и KC пересекаются в точке S. Известно, что AK=AS и KL=LC. Докажите, что AL=KB.

В трапеции с основаниями AD и BC известно, что ∠A=90∘. На основаниях внутрь трапеции построены равносторонние треугольники AMD и BNC соответственно, причём точки M и N лежат внутри трапеции и точка N лежит внутри треугольника AMD на биссектрисе угла ADM. Отрезки CN и MD пересекаются в точке P, а прямая DN пересекает отрезок AB в точке Q. Докажите, что прямые PQ и CD перпендикулярны.

В тетраэдре ABCD среди сечений, параллельных рёбрам AC и BD одновременно, выбрано сечение с наибольшей площадью. Длина ребра AC равна 4.5, длина ребра BD равна 15.0. Найдите сумму квадратов диагоналей этого сечения с точностью до 0.1.

В треугольнике ABC угол A — тупой. Внутри угла A выбраны точки M и N так, что AB=AM, AC=AN и ∠MAN+∠BAC=180∘. Докажите, что длина отрезка MN вдвое больше длины медианы AA1 треугольника ABC.