Задача на делимость

Уважаемые преподаватели, помогите, пожалуйста, решить задачу:

Натуральные числа m и n таковы, что m>n, m не делится на n и имеет от деления на n тот же остаток, что и m+n от деления на m-n. Найдите отношение m:n.

Я, естественно, написал: m=na+r, m+n=(m-n)b+r. Кручу по-всякому с этой системой, но никак не могу выудить оттуда искомое отношение. Подскажите хотя бы направление мысли! Спасибо.

Рассмотрите n+m-r и задумайтесь
а) На что это число делится,
б) Насколько оно большое

Торможу. Ну, делится m+n-r на m-n и на n. И что? Насколько оно большое — по сравнению с чем? Например, оно меньше 2m. И что это даёт?

n+m-r делится на n и m-n
Если m<=2n, то
n<n+m-r<3n, следовательно оно равно 2n
Тогда m-n=r и при делении на него не может быть остатка r.
Значит m>2n
Тогда
n+m-r<3(m-n), т.к. 4n<2m
Значит n+m-r=2(m-n), т.к. m-n на n по условию не делится.
Отсюда m=3n-r,
m+n-r=4n-2r делится на n, отсюда r=n/2.
Значит m=5k, n=2k

Либо можно, конечно, просто алгебраически, если вам так милее
Подставить выражение m через n во второе соотношение, перенести все с n в одну часть, rb в другую и получить соотношение.
Нетрудно понять, что b достаточно небольшое, иначе будет отрицательное число слева. Дальше просто

Да, понятно, но при а=1 там b сокращается и неясно, почему оно небольшое.

Прошу прощения, понял до конца. Если а=1, то из первого уравнения имеем r=m-n, а в силу второго r<m-n — противоречие.

Из равенства m+n=(m-n)b+r вычтем равенство m=na+r, получим
n=(m-n)b+r-na-r;
n=(m-n)b-na;
n=mb-nb-na;
mb=n+nb+na;
mb=n(1+b+a);
m:n=(1+b+a):b;
m:n=1+(1+a):b;

Теперь нужно подобрать a и b так, чтобы (1+a):b не было бы целым числом
(ведь m не должно делиться на n нацело). Но этого ещё не достаточно.
Пробуем взять самые маленькие числа: a=1, b=3. Тогда m:n=1+(1+1):3=5/3.
Пусть, например, m=5 и n=3. Имеем:
5 = 3 + 2,
5+3 = (5-3)*3 + 2.
Не получилось, так как равенство 8=2*3+2 хоть и верное, но на самом деле,
8 делится на 2 без остатка (остаток равен не 2, а 0).

Это все к чему? :)

Что значит к чему? К задаче.
Предлагаю способ решения задачи: подобрать a и b так, чтобы (1+a):b
не было бы целым числом и чтобы далее тоже всё получилось.
Я не давал гарантии, что на этом пути мы быстро получим ответ,
но попробовать можно.

Хотелось бы решение задачи увидеть наглядно.
Чтобы рисовать наглядные графики, желательно, чтобы эти графики
были непрерывными линиями (или хотя бы кусочно непрерывными).

С этой целью обобщим операцию деления с остатком
на произвольные положительные вещественные числа.

Делимое и делитель — произвольные положительные вещественные числа.
Неполное частное — число целое, как и раньше.
Остаток — вещественное неотрицательное число, строго меньшее делителя.

Зафиксируем m. Чтобы дальнейшие записи были более краткими, положим m=1,
это не будет ограничивать общность.

Задача теперь формулируется следующим образом.
Найти такое положительное вещественное число n, меньшее 1,
чтобы остаток от деления m на n (то есть остатку от деления 1 на n)
равнялся остатку от деления m+n на m-n (то есть остатку от деления 1+n на 1-n).

На рисунке красным цветом показан график зависимости от n остатка от деления
m на n. Остаток равен нулю в точках 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ... .
Между соседними нулями функция линейно убывает от n до нуля.
Угловые коэффициенты отрезков равны -1, -2, -3, -4, -5, -6, ... .

Зелёным цветом показан график зависимости от n остатка от деления m+n на m-n.
Прежде, чем нарисовать график, нужно было найти нули этой функции:
m+n=(m-n)b+r,
m+n=(m-n)b+0,
1+n=(1-n)b+0,
1+n=b-nb,
n+nb=b-1,
n=(b-1)/(b+1).
Подставляя b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., получаем n = 0, 1/3, 2/4, 3/5, 4/6, 5/7, ... .
Между соседними нулями функция линейно возрастает от 0 до 1-n.
Формула: r = m+n-(m-n)b = 1+n-(1-n)b = (1+b)n+1-b.
Угловые коэффициенты отрезков равны 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... .

Видим, что красный и зелёный графики имеют единственную общую точку
(если учитывать условие r>0): точку пересечения прямых r=1-2n и r=3n-1.
Находим n:
1-2n = 3n-1,
5n = 2,
n = 2/5,
откуда m:n=5/2.

На https://ask.profi.ru/q/na-tablo-privedeno-vernoe-matematicheskoe-42935/#n18:
Виктор Евгеньевич, если Вы не против, давайте Вашу задачку предложим нашим школьникам, надеюсь, понравится:
"Дан квадрат со стороной 1. Из каждой вершины в квадрате проведена окружность радиуса 1. Найти площадь общей части этих окружностей."

t, S > 0 и...
...система из двух ур-ий:
3Vt + wt = S
2Vt = S

найти V / w

из второго ур-ия системы ясно, что V > 0.
если первое и второе ур-ие приравнять:
3Vt + wt = 2Vt <===> t(V +w) = 0
t не может быть нулем(из усл.), поэтому V + w = 0
V = -w

на этом мои мысли заканчиваются.
ответ на эту задачки → -1.

как решать?:)

найти величину и направление градиента данной функции f(x,y,z) в точке М0(x0,y0,z0)
f(x,y,z)=(z)/(корень квадратный из (x^2)+(y^2)), M0(0,-1,1)

подскажите пожалуйста ход решения