Здравствуйте! Очень интересная задача, можете, пожалуйста, сказать, из какого она сборника/по какому сборнику обучаетесь, если в контрольной дают такие задачи?
Вот решение:
Пусть:
Петя: х (картофелин) — собрал всего
Вася: 12х (картофелин) -собрал всего, в 12 раз > Пети
у — количество картофелин с !самого большого! куста
После того, как Вася отдал Пете y картофелин:
Петя: х + у
Вася: 12х — у
После этого у Васи стало в 7 раз больше чем у Пети:
(12х — у) / (х + у) = 7
х = 8у/5
Это уравнение в целых числах, т.к. х, у (количество картофелин) — целые. Решениями уравнения будут пары чисел: у, делящийся на 5, чтобы получившийся при делении на 5 «х» был целым числом. И соответствующий получившемуся иксу «у». Например, (8;5), (16;10), (24;15) и т.д.
В общем виде решение для у будет выглядеть так:
у = 5n, где n >= 1
(т.к. «у» делится на 5 и больше 1, при n = 0 Вася отдал 0 картофелин, а при n < 0 вообще отдал отрицательное количество)
Тогда:
х = 8(5n)/5
х = 8n
Когда знаем, чему равен «х», запишем исходное количество картофелин у Васи:
12х = 12(8n) = 96n
Исходные данные теперь выглядят так:
Петя — 8n
Вася — 96n
Дальше нас интересует только Вася.
Сейчас нужно понять, сколько минимум кустов ему понадобилось выкопать:
После того, как Вася отдал 1 куст с y=5n картофелинами Пете, у него осталось 96n — 5n = 91n.
Вася — 91n
Теперь нужно понять, как максимально эффективно разместить оставшиеся 91n картофелин по кустам.
Поскольку максимальный куст был уже отдан, то для минимального количества кустов все оставшиеся должны содержать в себе на одну картофелину меньше, чем было на максимальном кусте: 5n — 1 . Но может произойти такая ситуация, когда у нас не получится равно распределить все картофелины по кустам.
--------------------------------
Пример при n = 1:
После того, как Вася отдал картошку Пете у него осталась 91n = 91*1 = 91 картофелина. Поскольку отдавал он 5n = 5*1 = 5 картофелин, то остальные кусты могут иметь максимум 4 картофелины. Пробуем уместить: 91/4 = 22,75 кустов. Значит, у нас поместилось 22 куста по 4 картофелины и 1 куст по 3. Нам нужно выделить 1 куст для того, чтобы забалансить им количество кустов до целого. Соответственно, количество картошки на этом кусте может быть ⇐ количеству на основных.
--------------------------------
В итоге имеем:
1 куст Вася отдал Пете
1 куст для баланса
Неизвестное количество кустов по 5n-1 картофелин
По условию задачи нужно доказать, что Вася выкопал как минимум 20 кустов.
Сначала у него 96n картофелин.
1 куст ушел Пете (5n картофелин)
1 куст для баланса (на нем ⇐ 5n -1)
Тогда как минимум на 18 кустах располагалось 91n картофелин по 5n-1 на каждом кусте.
Если докажем, что для размещения 91n картофелин по 5n-1 на каждом кусте(для минимального количества кустов) нам всегда нужно больше 18 кустов, то задача решена.
Запишем неравенство:
(91n) / (5n -1) >= 18
91n >= 90n — 18
n >= -18 — верно, т.к. n >= 1 (начало решения)
Задача решена.
Для лучшего понимания происходящего можно сначала не решать в общем виде, а попробовать найти какие нибудь решения в ручную. Например, в какое количество кустов можно уложиться, если в самом начале у Пети было 1)8; 2)160 картофелин?
Самостоятельно можно попробовать доказать, что Вася выкопал как минимум 21 куст. Для этого нужно чуть-чуть поменять количество кустов в самом конце решения. Очевидно, неравенство будет неверным, так как уже доказано, что нужно как минимум 20. Если, например, попробовать доказать, что минимальное количество кустов 19 или меньше, то, очевидно, неравенство получится верным, поскольку доказано, что нужно >= 20 кустов.