СПРОСИ ПРОФИ
👍
+1
👎 134

Тригонометрическое уравнение.

Найти острый угол [m]\alpha[/m], удовлетворяющий уравнению
[m]\sqrt{7-4\sqrt{3}\sin{\alpha}}+\sqrt{15-12\cos{\alpha}}=4[/m].

P.S. Как и всегда, приветствуется красота. :-)
тригонометрия элементарная математика математика обучение     #1 ⇒   18 май 2012 00:43   Увидели: 102 клиента, 6 специалистов   Ответить
👍
+2
👎 2
Если решать — наверное.
Если догадаться — то сразу виден ответ.
  ⇐ #2 ⇒   18 май 2012 01:36   Ответить
👍
0
👎 0
ну да, уголок типа стандартного,
Вам осталось только доказать, что других нет
  ⇐ #3 ⇒   18 май 2012 12:15   Ответить
👍
+1
👎 1
Как всегда, проспал.
Но, по нахалку, воспользуюсь советом чуть ниже.

Самое трудное в этой задаче было увидеть, что под одним корнем синус,а под вторым — косинус.
  ⇐ #5 ⇒   18 май 2012 13:58   Ответить
👍
0
👎 0
Минимум в этой точке достигается.
  ⇐ #4 ⇒   18 май 2012 13:42   Ответить
👍
+2
👎 2
да, может быть, так:

[m]4=A=\sqrt{(\sqrt{3}-2\sin \alpha )^2+4\cos^2\alpha} + \sqrt{3(1-2\cos \alpha )^2)+12\sin ^2 \alpha } \geqslant \frac{\sqrt{2}}{2}\left ( \left |\sqrt{3}-2\sin \alpha \right | +2\cos \alpha +\sqrt{3}\left | 1-2\cos \alpha\right |+2\sqrt{3}\sin \alpha\right )[/m]
далее раскрываем модули в зависимости от угла [m]\frac{\pi }{3}[/m] (jy ;t b jndtn — ой...)
  ⇐ #6 ⇒   18 май 2012 14:25   Ответить
👍
0
👎 0
Ой!
Рамиль!!!
Обе функции монотонные, одна растет, другая убывает и обе вогнуты.
  ⇐ #7 ⇒   18 май 2012 14:32   Ответить
👍
0
👎 0
ну да, я вроде как понимаю, что решение существует...и что там минимум для острого угла есть. Спасибо!

"Обе функции монотонные, одна растет, другая убывает и обе вогнуты."
- это дает существование корней (и то при определенных условиях на границе). А количество корней может быть и несколько, на форуме обсуждали:

[m]\left ( \frac{1}{16} \right )^x — \lg _{16}x =0[/m] — три корня...
  ⇐ #8 ⇒   18 май 2012 15:06   Ответить
👍
0
👎 0
sorry:
[m]\left ( \frac{1}{16} \right )^x+\log _{16}x = 0[/m]
корни 0.5, 0.25, 0.31...(? — по памяти)
  ⇐ #9 ⇒   18 май 2012 15:25   Ответить
👍
0
👎 0
Вполне может быть, что я ошибаюсь. Это не удивит.
Но, Рамиль, в Вашем контрпримере обе функции убывают.
  ⇐ #11 ⇒   18 май 2012 16:29   Ответить
👍
0
👎 0
"в Вашем контрпримере обе функции убывают."

- 1-я ф-ия убывает(как и первый радикал), 2-я ф-ия возрастает(как и второй радикал) — всё для #7.
Ну, и потом понимаете — сумма таких ф-ий могут дать всё что угодно (возрастание, убывание, константу), даже при сильной выпуклости.
  ⇐ #12 ⇒   18 май 2012 23:20   Ответить
👍
0
👎 0
Да, наверное.
Будет рассчитывать на чудо: не в этой задаче.
  ⇐ #13 ⇒   18 май 2012 23:41   Ответить
👍
0
👎 0
Рамиль!
Извините, что-то у меня совсем шарики за ролики.
Сумма двух вогнутых — вогнутая. Так что минимум где-нибудь будет. В конце концов — на концах интервала.

Примечание:
Задача Владислава Аркадьевича мне напомнила.
Меня всегда привлекало бессилие математики.
В свое время удивился, насколько мало задач решает математика.
В этом, собственно, и заключается невозможное могущество математики.
Все задачи, которые математика решает — решаются либо красиво, либо очень красиво.
С задачами, которые математика не решает — она в конце концов как-то справляется, и справляется успешно.

Дело вот в чем: замените в уравнении Владислава Аркадьевича 4 справа на 4,000001 и попробуйте решить, да еще и школьными методами (не делайте этого, предложение риторическое).
  ⇐ #14 ⇒   19 май 2012 07:18   Ответить
👍
0
👎 0
Действительно, шарики за ролики. Надо ж так проспаться (это я про себя).
В Вашем уравнении — одна функция вогнутая, вторая — выпуклая. Этого то я и не увидел. В уравнении Владислава Аркадьевича — обе функции вогнутые.
  ⇐ #15 ⇒   19 май 2012 07:22   Ответить
👍
0
👎 0
похоже, не катит: точные оценки достигаются при a=b ( для неравенства средн.квадратического и арифметического), а нам необходиомо занулить слагаемые в модулях.
жаль...
  ⇐ #10 ⇒   18 май 2012 15:29   Ответить
👍
0
👎 0
А если эту задачу дали ученику 9 класса на геометрии? :-)
  ⇐ #16 ⇒   19 май 2012 20:21   Ответить
👍
+1
👎 1
ну, всегда были достаточно продвинутые школы; на днях вот тоже 9-ти классник показал задачку из своего домашнего задания:
докажите, что бублик(полноторие) и шар равномощны
(всего 19-ть задач на множества)
  ⇐ #17 ⇒   19 май 2012 22:21   Ответить
👍
0
👎 0
Учитывая, что каждый из них содержит дугу окружности и вложен в трехмерное пространство, это очень простая задача :)
  ⇐ #18 ⇒   19 май 2012 22:34   Ответить
👍
+1
👎 1
ну, она и не будет сложной, если знания нанизываются последовательно и есть практика решения подобных задач — вполне можно давать и в 8-м классе

а предложите кому-нить из абитуров, которые до самого ЕГЭ умудряются путать синус с косинусом...
  ⇐ #19 ⇒   19 май 2012 22:39   Ответить
👍
+3
👎 3
Геометрическое решение.

Построим прямоугольный треугольник ABC со сторонами [m]AB=2, BC=2\sqrt{3}, AC=4.[/m]
Будем вращать отрезок [m]AD=\sqrt{3}[/m] внутри угла B.
Из теоремы косинусов следует, что исходное уравнение переписывается в виде [m]AD+DC=4[/m]. А такое возможно, если точка D принадлежит AC, и BD — высота треугольника ABC.
Т.о., [m]x=60^\circ[/m].
  ⇐ #20 ⇒   21 май 2012 11:18   Ответить
👍
0
👎 0
*Будем вращать отрезок [m]BD=\sqrt{3}[/m] внутри угла B.
  ⇐ #21 ⇒   21 май 2012 11:20   Ответить
👍
+1
👎 1
Красота!
  ⇐ #22 ⇒   22 май 2012 00:19   Ответить
👍
0
👎 0
Контрольные вопросы —

1. сколько решателей исходного уравнения придумают подобную геом. интерпретацию?

2. что проще — придумать геометрическое решение для конкретного уравнения или решить его любым другим способом?

Полагаю, это трюк такой же сложности, как взять парочку многочленов второй степени с иррациональными корнями и подсунуть решателю уравнение 4-й степени f(g(x))=0 ; разумеется, подсунуть с раскрытыми скобками — в "надежде", что он сможет восстановить f и g.
  ⇐ #23 ⇒   22 май 2012 02:55   Ответить
👍
+1
👎 1
Думаю Вы не правы и во многом.

Назову только одно.
В школе, уравнения четвертой степени (впрочем, и более высоких степеней) решаются довольно простым способом; единственное, что для этого надо — знать о существовании этого способа.
Собственно этим способом я и решил уравнение Владислава Аркадьевича.
  ⇐ #24 ⇒   22 май 2012 07:09   Ответить
👍
0
👎 0
Вы решили способом, указанном в пункте 20?!!
  ⇐ #25 ⇒   22 май 2012 09:53   Ответить
👍
0
👎 0
Способом указанным в п. 2.
  ⇐ #26 ⇒   22 май 2012 11:05   Ответить
👍
+3
👎 3
Беда в том, что этот "простой способ" категорически не подходит для поиска иррациональных корней. А рациональные корни в нелинейном уравнении — это экзотика, в основном — учебная экзотика.
  ⇐ #27 ⇒   22 май 2012 14:53   Ответить
👍
0
👎 0
Я ничего не говорил о способе, которым решаются такие уравнения, а Вы уже делаете выводы о его применимости.
Что-то не в порядке либо в Датском Королевстве, либо где-то еще.
Так что, извините, логике у Вас учиться не буду. Нет нужды в хорошей но неработоспособной логике, лучше буду пользоваться плохой, но успешно применимой на практике.
В частности, иррациональные корни таким способом ищутся и весьма успешно.
  ⇐ #28 ⇒   23 май 2012 01:07   Ответить
👍
0
👎 0
Наткнулся на уравнения на эту тему.
http://problems.ru/view_problem_details_new.php?id=61167
  ⇐ #29 ⇒   23 май 2012 02:04   Ответить
👍
0
👎 0
Да достаточно подобного рода задач.
Например, книжка "100 нестандартных задач" — точное название не помню.
  ⇐ #30 ⇒   23 май 2012 02:11   Ответить
👍
0
👎 0
http://www.twirpx.com/file/754607/

Неожиданный шаг или сто тринадцать красивых задач — если точнее.
  ⇐ #31 ⇒   23 май 2012 02:14   Ответить
👍
0
👎 0
Вот за это спасибо. Не встречал этой книги раньше.
  ⇐ #32 ⇒   23 май 2012 02:19   Ответить
👍
+1
👎 1
http://www.ph4s.ru/book_ab_mat_zad.html — вот так будет лучше — по той ссылке не качается, а здесь только чьей-то рекламой отягощено, но качается без проблем.
  ⇐ #33 ⇒   23 май 2012 02:22   Ответить
👍
0
👎 0
Я уже в другом месте нашел. :-)
  ⇐ #34 ⇒   23 май 2012 02:24   Ответить
👍
0
👎 0
Ну ок — просто по ссылке из №37 лежит много всего хорошего, помимо 113.
  ⇐ #35   23 май 2012 02:28   Ответить

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

● Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 0

Тригонометрические уравнение   1 ответ

Решить тригонометрическое уравнение :
1)cos^2 (x)-cos^2 (2x)+cos^2 (3x)-cos^2 (4x)=0
2)sin^2 (x)+sin^2 (4x)+sin^2 (6x)+sin^2 (7x)=2
  12 апр 2017 20:27  
👍
+1
👎 1

Тригонометрическое уравнение   8 ответов

Sin(x) + cos (x) = tg (x)
  07 дек 2016 09:49  
👍
0
👎 0

Тригонометрическое уравнение (наверное, сложное...)   17 ответов

Добрый день. Уже месяц бьюсь над уравнением:
1/sin^3(x)+1/cos^3(x)=1.
Заменой оно сводится к неразрешимому в радикалах уравнению шестой степени. Но из неразрешимости в радикадалах не следует неразрешимость исходного. Очень хочется или исходное уравнение решить или четко понять почему этого сделать нельзя. Может быть кто сталкивался? Заранее спасибо!
  17 июл 2016 01:38  
👍
0
👎 0

Помогите с решением задачи   8 ответов

в треугольнике ABC угол С равен 90 градусов. sinA = 24/29. АС=корень из 265. найти АВ
  05 ноя 2011 17:49  
👍
+2
👎 2

Тангенсы.   13 ответов

В продолжение темы
https://ask.profi.ru/q/trigonometriya-vychislit-tg20tg40tg60tg80-33254/

Формулу
[m]\operatorname{tg}{3\alpha}=\operatorname{tg}{\alpha}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{\pi}{3}-\alpha)}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{\pi}{3}+\alpha)}[/m]
доказать несложно.

Формулу
[m]\operatorname{tg}{5\alpha}=\operatorname{tg}{\alpha}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{\pi}{5}-\alpha)}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{\pi}{5}+\alpha)}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{2\pi}{5}-\alpha)}\cdot\operatorname{tg}{(\frac{2\pi}{5}+\alpha)}[/m]
доказать…
  22 май 2012 01:50  
👍
0
👎 0

А мне поможете с проблемой? :) Тоже решить уравнение... sin(x-1)=cos(x+2)…   8 ответов

А мне поможете с проблемой? :)

Тоже решить уравнение...
sin(x-1)=cos(x+2)

Спасибо заранее!
  08 янв 2012 15:19  
ASK.PROFI.RU © 2020-2025