Тригонометрическое уравнение (наверное, сложное...)

Добрый день. Уже месяц бьюсь над уравнением:
1/sin^3(x)+1/cos^3(x)=1.
Заменой оно сводится к неразрешимому в радикалах уравнению шестой степени. Но из неразрешимости в радикадалах не следует неразрешимость исходного. Очень хочется или исходное уравнение решить или четко понять почему этого сделать нельзя. Может быть кто сталкивался? Заранее спасибо!

Корни есть: http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+1%2Fsin%5E3(x)%2B1%2Fcos%5E3(x)%3D1 — но счастья они не приносят, увы... А откуда задачка?

Спасибо за ссылку. Наличие корней, действительно, установить не сложно. Источник, увы... очень неконкретный. Некоторое время назад мне один знакомый учитель математики предложил... Сейчас уже с ним связь утеряна.

замена sin(3x)+cos(3x)=t
тогда
sin(3x)cos(3x)=(t^2-1)/2
2t=t^2-1
итд

Что за чушь ?
Там не тройной аргумент, а третья степень.

В любом случае все сводится к уравнению 6-ой степени. А для таких уравнений общего алгоритма нет :( Так что, если вопрос стоит в нахождении корней, то лучше всего пользоваться приближением.

Анрей Александрович, интерес представляет аналитическое нахождение корней. И вот что хотелось бы сказать про уравнения высоких степеней:

Возьмем уравнение

sin(7x)=1. (1)

Простое, правда?

Выразим sin(7x) через cos(x) и sin(x). Получим триг. многочлен седьмой степени по этим функциям. Значит, наше уравнеие (1) теперь запишется в виде

Q(cos(x),sin(x))=1, (2)

где Q упомянутый многочлен. Далее выразим cos(x) и sin(x) через тангенс половинного угла:

cos(x)=(1-t^2)/(1+t^2), sin(x)=2t/(1+t^2), где t=tg(x/2),

подставим это в (2) и приведем все к общему знаменателю. В числителе получившейся рациональной дроби стоит многочлен 13-ой степени по t, который раскладывается на множители:

-(1+t)^2*(t^6-8*t^5-13*t^4+48*t^3-13*t^2-8*t+1)^2

Итак, уравнение (1) сведено к уравнению 6-ой степени:

t^6-8*t^5-13*t^4+48*t^3-13*t^2-8*t+1=0 (4)

К чему все это? А к тому, что если что-то к уравнению шестой степени свелось, то еще не значит, что это что-то не решается тривиально.

Хотя если кому предложить сразу уравнение (4) в качестве задачи, то это, да, сложно. Вот Maple пишет, что группа Галуа левой части (4) имеет вид

"6T1", {"3[x]2", "C(6)"}, "-", 6, {"(1 2 3 4 5 6)"}. Интересно, она разрешима? То есть число tg(Pi/28) выражается в радикалах?

PS Насколько я знаю, для уравнений пятой степени общий алгоритм есть. Просто корни выражаются не в радикалах, а в тета-функциях.

> PS Насколько я знаю, для уравнений пятой степени общий алгоритм есть. Просто корни выражаются не в радикалах, а в тета-функциях.

Это Вы правильно знаете. Более того, все корни любого уравнения вида [m]x^n+bx^m+c=0[/m] (а уравнение пятой степени приводится к такому виду через решение квадратного и кубического) с комплексными коэффициентами могут быть выражены через гипергеометрические функции.

Более того, корень любого алгебраического уравнения (отличного от константы!) с комплексными коэффициентами может быть выражен в известном человекам классе функций.

Андрей Михайлович, то, что Вы сказали: "Более того, корень любого алгебраического уравнения (отличного от константы!) с комплексными коэффициентами может быть выражен в известном человекам классе функций" — это теорема? Именно "может быть выражен" не понятно.

Правильно ли, что существуют отличные от константы многочлены с комплексными коэффициентами, для которых алгоритма нахождения корней нет (мы не знаем или не существует?), но есть некая теорема существования?

Я не очень понял, что значит алгоритм. Для любого многочлена [m]f\in\mathbb{C}[x][/m] выполнено

[m]x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 = \prod_{i=1}^{n}(x-f_{i,n}(a_{n-1},\dots,a_0))[/m],

для некоторых функций [m]f_{i,n}\colon \mathbb{C}^n\to\mathbb{C}[/m] (они еще и непрерывны). Значения этих функций можно вычислять с наперед заданной точностью. Наверное, можно сказать, что алгоритм есть.

Таких наборов функций известно много, вот например:

http://m-hikari.com/ams/ams-2015/ams-93-96-2015/p/kamyshlovAMS93-96-2015.pdf

Еще есть книга Beyond the Quartic Equation, но я не могу здесь давать на нее ссылку.

"Я не очень понял, что значит алгоритм." Ну как же!!:))) Я выше писал "Насколько я знаю, для уравнений пятой степени общий алгоритм есть." А Вы ответили "Это Вы правильно знаете." )))

В этом и вопрос: что можно в общем случае про функции f_{i,n} (простите, не знаю как здесь набирать в техе) сказать, кроме того, что что они непрерывные и алгебраические? В каком "известном человекам классе функций" они лежат?
(Это обязательно тета-функции? Нет. Обязательно гипергеометрические? Тоже, наверное, нет...)

В статье по ссылке обсуждается поиск корней в виде рядов (вопросы сходимости и т.п.), но полученные ряды никак не классифицируются (или я не увидел??): эти ряды представляют сосбой уже известные функции или нет?

, они и составляют класс (я не имел ввиду какой-то известный класс широко применимых функций), я не знаю можно ли здесь что-то классифицировать, это крайне специфические функции построенные с одной единственной целью.

> эти ряды представляют сосбой уже известные функции или нет?
Я не знаю (и думаю, что никто не знает), но это супер маловероятно.

Насколько мне известно, гипергеометрические функции применимы для нахождения корней уравнений описанного в #8 вида (и, кажется, всех уравнений степени не выше семи, но тут могу наврать). Тете-функции --- это "спорадический" результат только для уравнений пятой степени.

P.S. чтобы техать надо формулу заключить в [m][m[/m][m]][/m] и [m][/m[/m][m]][/m].

Андрей Михайлович, спасибо (я абсолютно серьезно!!) за интересное и для меня позновательное обсуждение!

Вот в своем посте #7 я попытался (неудачно) привести пример тривиального триг. уравнения, которое однако можно свести к неразрешимому в радикалах алгебраическому. Просто чтоб опровергнуть тезис о том, что если к нерешаемому в радикалах уравнению задача свелась, то все! Потому что с уравнением в старт-посте именно такая ситуация.

Только заметил, что уравнение (4) симметрическое((( Конечно, разрешимо в радикалах. А еще и группы приплел... Не оч. удачный пример.

Не понимаю, откуда тут действительные корни? Каждое слагаемое слева не меньше единицы, так что сумма не меньше двух и не может быть единицей. корней нет.
Или у меня глюк?

Hint: [m]3-2=1[/m]

да, у меня был глюк, степень нечётная ))))

Решить тригонометрическое уравнение :
1)cos^2 (x)-cos^2 (2x)+cos^2 (3x)-cos^2 (4x)=0
2)sin^2 (x)+sin^2 (4x)+sin^2 (6x)+sin^2 (7x)=2

Sin(x) + cos (x) = tg (x)

Подскажите, пожалуйста, идею! Решу сама.

4(3+4cos(x)+cos(2x))(3+4cos(2x)+cos(4x))(3+cos(10x))=3+cos(8x)

1) 3 sin ^2 x+10+3 cos^2 x
2) cos^2 15 градусов+cos^2 75 градусов
3) cos^2 15 градусов — sin^2 75 градусов
4) 3 сos^2 x +1 — cos^2 x — 3 sin^2 x, если cos 2x = — 0,2
5) (sin x-cos x)^2, если sin 2x =0,4

(cos x)^58 + (sin x)^40 = 1
Нашел, что корнями являются Pi*n/2. А вот как показать, что других корней нет, в упор не вижу.

Найти острый угол [m]\alpha[/m], удовлетворяющий уравнению
[m]\sqrt{7-4\sqrt{3}\sin{\alpha}}+\sqrt{15-12\cos{\alpha}}=4[/m].

P.S. Как и всегда, приветствуется красота. :-)