Решить тригонометрическое уравнение

Подскажите, пожалуйста, идею! Решу сама.

4(3+4cos(x)+cos(2x))(3+4cos(2x)+cos(4x))(3+cos(10x))=3+cos(8x)

Вот фактически оно же, к чему я преобразовала:

sin^4(2x)(3+cos(10x))=sin^4(x/2)(3+cos(8x))

Еще одна его форма:

sin^4(2x)(sin^4(5x/2)+cos^4(5x/2))=sin^4(x/2)(sin^4(2x)+cos^4(2x))

Александра! Равносильность приведенных уравнений вызывает сомнения. Так один из очевидных корней x=0 уравнений #2 и #3 не является корнем уравнения старт-поста. Скорректируйте условия, пожалуйста.

Второе и третье уравнения являются следствиями первого: некоторые преобразования и домножение на sin^4(x/2). Отбросить лишние корни не проблема, проблема понять как это решать :)
Я привела другие формы уравнения чтобы показать, что я сама активно пытаюсь его решить. Я очевидно упускаю какую-то идею. Мне достаточно ее указать, и я сама доведу до конца. У меня вообще-то все неплохо с уравнениями-неравенствами, но вот в этом случае я безнадежно затупила :)

Задача слишком сложная, чтобы быть правдой.
Александра, или то, что у вас получилось (#2) неправильно, или вы неправильно записали условие.

У меня получилась такая штука в предположении, что условие верно записано

256*cos^4(x/2)cos^4(x)(1+cos^2(5x))=1+cos^2(4x)

Все-таки условие верно сформулировано?

Условие верное. В #2 тоже верно, оно получается из вашего, так как 4cos(x/2)cos x=sin(2x)/sin(x/2).
Вот еще один вариант записи этого уравнения:
(3-4cos(4x)+cos(8x))(3+cos(10x))=(3-4cos(x)+cos(2x))(3+cos(8x))
Еще есть наблюдение, что 2пи/3 является корнем.

И правда... нетривиальненькое такое уравнение...
А это вообще что? один из вступительных номеров на мехмат?

Учительница дала подумать. Говорит, сама пока не знает как решать. Я уже три дня над этим уравнением думаю, и ничего не выходит. Исчерпала свои ресурсы, похоже. Но очень интересно, что же все-таки тут делать надо.

И мне не верится... Всё может быть, конечно, но:
1. WolframAlpha не переваривает, выдавая ответы лишь приближённо (так мы тоже умеем). Впрочем, она не со всем справляется.
2. Под задачу "экстремального" характера, типа
cos α cos 2α cos 8α = -1
не подвести, так как графики компонент пересекаются без касания (если я понятно выразился).
Может быть, требовалось найти корни при каком-то дополнительном ограничении?

К сожалению требуется решить уравнение. В вольфрамальфе я тоже смотрела. В частности сводила к алгебраическому относительно t=cos(x). Там кошмар.

У меня есть опасение, что это неправильно сформулированная задача с какой-то текущей олимпиады. Я не так давно наблюдал как пара студентов мехмата решала достаточно похожего вида штуку, но там надо было найти сумму корней на определенном отрезке.

А какая разница? Как, например, не решив это уравнение, найти сумму его корней на [0,пи]?

В общем случае найти сумму корней легче, чем найти корни по отдельности.

Это понятно для алгебраических уравнений (хотя там есть риск попасть на кратные корни, но вы же говорите про общий случай), но совершенно не понятно для тригонометрических. В данном конкретном случае я знаю все числа (скажем, с точностью до сотых) на [0;пи], которые являются корнями данного уравнения (нашла их численно). Как, интересно, найти их сумму, не решая уравнения?
Андрей Михайлович, у вас есть идеи, что делать с этим уравнением? Я даже не прошу их излагать. Меня интересует хотя бы только то, решаема ли эта задача в принципе. Это вдохнуло бы в меня новые силы :)

Я не думаю, что для этого уравнения можно найти корни в каком-то разумном виде.

Что касается нахождения суммы корней, то это зависит от промежутка (например, если промежуток симметричен относительно нуля, то это тривиально). Если промежуток кратен "наименьшему общему кратному периоду" всех серий решений, то я думаю, что задача решается (но то решение которое я сейчас вижу очень громоздкое, такого не могут дать даже на заочную олимпиаду).

Ладно, готова признаться: эта задача из творческого задания отборочного этапа ПВГ. Исходная формулировка: решите уравнение

(cos x+cos2x+cos3x+cos4x)^4+(sin x+sin2x+sin3x+sin4x)^4=(3+cos8x)/4

и найдите сумму всех корней на [2022пи; 2023пи].

У меня закончился срок работы над заданием, и я отправила решения без этой задачи (остальное вроде решила). Написала, что в условии ошибка и что корни не ищутся в разумном виде.

Если бы интервал был длиной 2\pi (например [2022\pi; 2024\pi]), то все было бы практически очевидно. Если длина 1\pi, то надо подумать.

Даже длина интервала 2\pi не отменяет требования №1 — решите уравнение. Надо ведь не только написать ответы, но и представить подробные решения.

Если длина интервала равна 2\pi (или 1000000\pi), то найти сумму корней из этого интервала просто (тут важно что длина интервала кратна 2\pi). Про решить я что-то сомневаюсь (т.е. я думаю, что в задаче было написано Найти сумму всех корней на отрезке).

Ссылка на картинку условия: http://my-files.ru/9lgf7f

Да, тут думать надо...

На самом деле, конечно, ОТКУДА задача может вполне повлиять на метод решения.
Я когда спросил про "вступительный мехмата", то предполагал, что если окажется оттуда, то нужно будет просто тупо найти разложения с общими множителями. Они любят такую кропотливую и тщательную математику.
Вступительные, например, на физфак — совсем другое.
Олимпиада — тем более.

Артем, на физфак уже давно нет вступительной математики.

Очень жаль. Всегда была вершина адекватности.

Ну вот то-то же.
А почему, когда Вас спросили о дополнительном условии, Вы сказали, что "к сожалению, надо решить уравнение"? Видите ли, то, что для Вас — трудное тригонометрическое уравнение, для ммм... [кого-то другого] может быть задачей совершенно иного типа. На это Вам тут уже несколько раз намекали.
Это и есть реальная причина того, почему задача до сих пор не решена.

Не поняла ваш неожиданный выпад с поучающим "то-то же".
После того как решено уравнение, выполнить второе дополнительное требование (найти сумму корней на данном промежутке) есть задача настолько незначительная, что мне даже не пришло в голову ее упоминать.
Самое трудное состоит в первом требовании условия — решить уравнение. И "реальная причина того, почему задача до сих пор не решена" заключается не в том, что я умолчала о дополнительном требовании, а в том, что просто никто не знает как ее решать, в том числе и вы. Но вы-то ладно, это не показатель, а вот то, что молчит Андрей Михайлович, укрепляет меня во мнении, что в записи уравнения содержится ошибка.
Моя гипотеза: правая часть должна быть (3+cos10x)/4, а не (3+cos8x)/4.

Не вижу серьезных поучений. На мой взгляд тоже было все как-то... ну... невежливо с вашей стороны. Причем я-то задавал прямой вопрос, так вы, получается, неправду сказали.

А оказалось, что это имело существенное значение (если не для меня, я все равно понятия не имею, как решать, то вот нашелся человек).

Такие дела. А для школьницы у вас очень хороший навык, у меня таких учеников даже и не бывало, снимаю шляпу.

Какую неправду я вам сказала? Изначально мне действительно учительница дала это уравнение, заодно попросив поучаствовать в ПВГ. Мне это участие особо не нужно, у меня есть всерос, я с ним уже куда угодно поступила.
И какая разница, откуда задача? На мехмате было много всего разного, на физфаке было много всего разного, на олимпиадах тоже разные задачи бывают. Какое существенное значение может иметь информация, откуда задача, когда есть конкретное уравнение и надо думать как его решать?

Хаха, думаю, что если бы мы с вами лицом к лицу разговаривали, вы бы вряд ли так говорили :) Интернет обезличивает, это да...
Задача интересная, вон посмотрю решение внизу. А успехи у вас заслуженные, это очевидно.

0. Выпад был. Он связан с отрицанием Вами Вашего промаха, в результате которого люди потратили лишнее время. Признайте это, и всё Ок :)
1. "Самое трудное состоит в первом требовании условия — решить уравненИЕ. И "реальная причина того, почему задача до сих пор не решена" заключается не в том, что я умолчала о дополнительном требовании, а в том, что просто никто не знает как ЕЁ решать..."
1.1. Такого требования — решить уравнение — не было.
1.2. Здесь всё дело в местоимениях. Её (задачу) решить — не то же самое, что его (уравнение).
2. "...есть задача настолько незначительная, что мне даже не пришло в голову ее упоминать..."
2.1. Неправда. Это зависит от уравнения. Легко подобрать задачу, где просуммировать очевидные корни будет, мягко говоря, затруднительно.
2.2. Неупоминание Вами этого "дополнительного" требования сделало задачу нерешаемой. В действительности, именно оно составляет суть вопроса. Таких задач (авторских) у меня предостаточно; если опустить это второе условие, они также становятся {мягко говоря} сложнее.
3. Андрей Михайлович не будет (как я думаю) выкладывать Вам решение, так как это не его весовая категория. Впрочем, это его дело. Перечитайте #14.
4. Задача Ваша проще пареной репы, если посмотреть на всё с точки зрения симметрии относительно точки x=π (промежуток заменён на [0; 2π], потому что это не имеет значения в силу периодичности). Заменяя (после самоочевидных упрощений) x=a на x=2π-a, доказываем, что корни действительно симметричны относительно середины промежутка, причём сама середина, то есть x=π — не корень. Единственный сравнительно трудный момент — выяснить, СКОЛЬКО их. Это решается приведением уравнения к удобному с точки зрения аналитики виду; никакого разрешения относительно корней не требуется.
5. Если что-то до сих пор не ясно:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=256*%28cos%28x%2F2%29%29^4*%28cos%28x%29%29…
Успехов!

Если верить #21, то там действительно просят решить уравнение. Более того, они хотят сумму корней на интервале длинной \pi, а не 2\pi.

Андрей (Михайлович), я никак не могу понять, что значит ваша запись 2\pi. Это значит 2*pi или что?
Потому что у меня в голове 2\pi будет означать 2 разделить на пи

Даже я знаю, что это latex.

Ааа, понятно тогда, мне бы и в голову не пришло. Спасибо за пояснение.

Если на интервале длиной π — то это да, я пас.

"1.1. Такого требования — решить уравнение — не было."

То есть как это не было? Вы заголовок форумной темы прочитали?

Вы пишете о промежутке [0; 2π], о том, как там расположены корни, даете численное решение вольфрама. Это совершенно не интересно. Дополнительное требование о нахождении суммы корней на промежутке НЕ ИНТЕРЕСУЕТ. Требуется решить тригонометрическое уравнение. Вы же понимаете, что значит "решить тригонометрическое уравнение"? У вас есть идеи, как это уравнение решать?

Ok, признаю, не увидел написанного чёрным по белому: "решить уравнение" (я говорю о рисунке, на который Вы сослались). Это действительно меняет суть. Извините.
Тогда действительно сложновато.

Так и в рисунке, на который я сослалась (http://my-files.ru/9lgf7f), тоже все черным по белому написано. Какие два слова вы там видите сразу после заголовка "Вопрос 2"?

Я ТОЛЬКО о рисунке. Видите ли, мой опыт преподавания говорит о том, что при малейших сомнениях в условии задачи надо требовать ссылку на первоисточник. Представьте себе ситуацию (проходил это 1001 раз): студент приносит мятый листочек, на котором коряво сформулирована трудная задача. Времени в обрез, за 15 секунд задачу "просветить насквозь" не могу. Стоит ли пытаться что-либо ещё предпринимать, если нет уверенности в том, что он не забыл приложить какое то второстепенное (с его точки зрения) условие?
У Вас действительно сложный случай. Если там всё-таки 2π, а не π, то считаю вопрос закрытым. Разумеется, могу просто не видеть решения для более сложного случая с промежутком длины π.

Там как-то странно написано: "округлив при необходимости..."

Да, я тоже смутился. Просто обидно будет, если генератор задач содержит ошибку на программном уровне. Интересно, другие задачи соответствуют этой по уровню сложности? Мало ли, какую чепуху можно настрочить, — а люди примут за чистую монету.

Вот это я называю профессионализм. Человек понимает суть задачи и догадывается, чтО от него скрыли, просто глядя на формулировку :)

по этой задаче предлагались разные вариации, например:

В варианте из #21 единицы в скобке с косинусами нет.

да, я видел. Почему бы кому-то (Б.М. ?) не убрать единичку...Сразу получается весело и занятно по времени.

по этой задаче предлагались разные вариации, например:

#45:
синусы и косинусы сворачиваются(схлопываются) умножением на \sin \frac{x}{2}
далее всё сводится к уравнению:
[m]|\sin \frac{5x}{2}| = |\sin \frac{x}{2}|\neq 0[/m]

сумма корней легко суммируется (5-ть корней на указанном интервале (приводить ответ на открытом форуме, как я понимаю, нельзя)

странно, что-то латех не отображается, хорошо, тогда так:
\sin \frac{5x}{2}=\pm \sin \frac{x}{2}\neq 0

или картинкой:

Ничего себе, вот так сюрприз! Конечно, с этой единицей в первых скобках уравнение легко решается. А как же мне теперь быть? У меня был нерешаемый вариант без единицы, и я отправила работу, написав, что в условии ошибка и решения не ищутся в разумном виде. Подавать апелляцию? Или мне зачтут полный балл за эту задачу?

Решить уравнения
cos cos 8x=- 1/2
sin sin (x- π/3)=1
tg x/3=√3