Тригонометрическое уравнение

(cos x)^58 + (sin x)^40 = 1
Нашел, что корнями являются Pi*n/2. А вот как показать, что других корней нет, в упор не вижу.

Докажем, к примеру, что на интервале (0,Pi/2) корней нет.
Рассмотрим функцию f(x) = (cos x)^58 + (sin x)^40 — 1.
Нужно доказать, что на интервале (0,Pi/2) эта функция не обращается в ноль.
В концах интервала — обращается в ноль.
Если бы обращалась в ноль и в какой-нибудь внутренней точке интервала,
то производная функции f(x) обращалась бы в ноль не менее, чем в двух
точках интервала.
Производная этой функции равна
f'(x) = 40(sin x)^39*(cos x) — 58(cos x)^57*(sin x) =
= (sin x)(cos x)(40(sin x)^38 — 58(cos x)^56)

Во внутренних точках интервала (sin x) не равен нулю, (cos x) не равен нулю.
Значит, если f'(x)=0, то должно быть
40(sin x)^38 — 58(cos x)^56 = 0,
или
40(sin x)^38 = 58(cos x)^56.
Левая часть этого уравнения возрастает на интервале (0,Pi/2),
а правая — убывает. Корень может быть только один.

Все гораздо проще.
(cos x)^58<=(cosx)^2
(sin x)^40<=(sinx)^2
(cos x)^58+(sin x)^40<=(cosx)^2+(sinx)^2=1
Следовательно (cos x)^58 + (sin x)^40 = 1 только в указанных вами точках.

Действительно, проще. Идея правильная.
Но для аккуратности нужно вставить некоторые дополнительные пояснения.
Из самого по себе нестрогого неравенства
(cos x)^58+(sin x)^40 <= 1
логически ещё не следует, что обратиться в
равенство оно может только в указанных точках.

Как это не следует? В том то и дело, что равенство будет выполнять только тогда, когда (cos x)^58=(cosx)^2, а (sin x)^40=(sinx)^2. Очевидно, что это только при Pi*n/2 выполняется. В остальных случаях (cos x)^58<(cosx)^2, а (sin x)^40<(sinx)^2. Это следует из-за того, что синус и косинус по модулю не превышают единицу.

Ну вот Вы и вставили необходимые дополнительные пояснения.
Теперь всё в порядке.

Нет, не всё в порядке. Для кого Вы написали пост #5 ?
Для меня? Спасибо, конечно же, но мне не нужны такие подробные пояснения.
В #4 я признал, что Ваше решение проще и лучше моего.
Но для гостей открытого форума было бы желательно писать аккуратнее.

В #5 Вы пишете:
"...равенство будет выполнять только тогда, когда
(cos x)^58=(cosx)^2, а (sin x)^40=(sinx)^2."

Это неправильно.
Союз "а" в русском языке имеет такой же смысл, как и союз "и".
А в данном утверждении должна быть употреблена логическая связка "или":
...равенство будет выполняться только тогда, когда
(cos x)^58=(cos x)^2 или (sin x)^40=(sin x)^2.

Далее:
"В остальных случаях (cos x)^58<(cosx)^2, а (sin x)^40<(sinx)^2.
Это следует из-за того, что синус и косинус по модулю не превышают единицу."

Это неправильно.
Указанные строгие неравенства следуют из того, что в остальных случаях
синус и косинус по модулю СТРОГО МЕНЬШЕ единицы.

если позволите, повторюсь вслед за Андреем Анатольевичем:
[m]\cos ^{2}x(\cos ^{56}x-1)+\sin ^{2}x(\sin ^{38}x-1)=1[/m]
- каждое из слагаемых меньше или равно нуля. Далее пишем систему, получаем единственные решения из стартпоста.

ох, #5 еще не видел, набирал latex

тьфу ты, ессно:
[m]\cos ^{2}x(\cos ^{56}x-1)+\sin ^{2}x(\sin ^{38}x-1)=0[/m]

Уважаемый Рамиль Зинятуллович!
Я хотел бы задать Вам вопрос такой же, какой я задал Андрею Анатольевичу.
Для кого написано решение? И о какой системе идёт речь?
Думаю-гадаю, не могу придумать. Система уравнений? Система неравенств?
Заменяем уравнение на равносильную систему? На какую?
А уж если пытаюсь читать глазами неопытного школьника — вообще тёмный лес.

P.S. Давно хотел спросить Вас, что означает аббревиатура ЕССНО?

Юрий Анатольевич,

ессно — это из инета вроде принятое сокращение от "естественно", как-то попривык

по поводу Ваших замечаний — Вы, ессно, правы, — в #6 небрежность

по поводу что за система...ну, вроде как-бы само собой понятно — ежели каждое слагаемое в #8 не больше нуля, то для #8 равносилен переход к системе равенств:
[m]
\left\{\begin{matrix}
\cos^{2}x(\cos^{56}x-1)=0
\\ \sin^{2}x(\sin^{38}x-1)=0\
\end{matrix}\right.[/m]

которая порождает совокупность еще 4-х систем (две из которых не имеют решения, а две дают то, о чем сыр-бор) — ну, я уж не буду набирать.

по поводу школьников — так это было не для школьников, просто типа поддержать Андрея Анатольевича( если бы видел #5 — ессно, не влезал бы).

ну, и в знак уважения к Вам, для Ваших учеников легкий прикол:
Доказать, что
[m]\arcsin \frac{4}{5}+\arcsin \frac{5}{13}+\arcsin \frac{16}{65}=\frac{\pi}{2}[/m]

да, на [m]rn[/m] не обращаем внимания

лады, конец недели, можно и расслабиться:
"Сколько решений имеет уравнение
[m]\log_{\frac{5\pi }{2}}x=\cos x[/m] ?
"
ответ. 3

а вот еще прикольное:
"
Решить уравнение при нечетных натуральных m,n:
[m]\sin ^{n}x+\frac{1}{\cos ^{m}x}=\cos ^{n}x+\frac{1}{\sin ^{m}x}[/m]
"

ну да, понимаю,[m]\sin x=\cos x[/m] это только или часть решения, или единственное возможное.

Я всё продолжаю думать, как изложить решение #3 наиболее кратко, но полно,
без логических изъянов, чтобы было как можно понятнее на школьном уровне.
Наверное, так:

Если x не является одним из чисел вида Pi*n/2, то
(cos x)^58 < (cos x)^2,
(sin x)^40 < (sin x)^2,
(cos x)^58+(sin x)^40 < (cos x)^2+(sin x)^2 = 1.

А чем это отличается от того, что написал я?

Тем, что заранее предполагаем, что x не является одним из чисел
вида Pi*n/2. Это позволяет вместо знаков нестрогого неравенства
писать знаки строгого неравенства и сразу получить, что
(cos x)^58+(sin x)^40 не равно 1 (то есть x не является корнем
исходного уравнения).

Если же мы заранее не накладываем на x никаких ограничений,
то получаем нестрогое неравенство
(cos x)^58+(sin x)^40 <= 1
и необходимо возвращаться назад и рассуждать, при каких x оно
будет строгим, а при каких будет превращаться в равенство.

как решить cos x = a ???