Тригонометрические уравнения

Решить уравнение sin^3(x)+cos^3(x)=1

[m]\sin^3 x+\cos^3 x =1[/m]

[m]\sin^3 x+\cos^3 x -1=0[/m]

[m]\sin^3 x+\cos^3 x-\sin^2 x-\cos^2 x=0[/m]

[m]\sin^2 x(\sin x-1)+\cos^2 x(\cos x-1)=0.[/m]

Т.к. [m]-1\le \cos x,\sin x\le 1[/m] для любого [m]x[/m] и квадрат вещественного числа неотрицателен, то последнее уравнение эквивалентно системе:

[m]\left\{\begin{matrix}
\sin^2 x(\sin x-1)=0 \\
\cos^2 x(\cos x-1)=0
\end{matrix}\right.[/m]

Дальше все должно быть ясно.

Красиво.

Стандартный способ: введём новую переменную
[m]z = \sin x + \cos x,[/m]
выразим через неё произведение синуса и косинуса, которое понадобится ниже:
[m]z^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x =1 + 2 \sin x \cos x;[/m]
[m]\sin x \cos x = \frac{1}{2} (z^2-1).[/m]
Левая часть уравнения
[m]\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(\sin^2 x — \sin x \cos x+ \cos^2 x) = z \cdot \left(1 — \frac{1}{2} (z^2-1)\right)[/m]
выражена через [m]z.[/m]
Решение Андрея Михайловича лучше в том смысле, что кубическое уравнение (по сути) решать не требуется.

Решить уравнения
cos cos 8x=- 1/2
sin sin (x- π/3)=1
tg x/3=√3

Решить тригонометрическое уравнение :
1)cos^2 (x)-cos^2 (2x)+cos^2 (3x)-cos^2 (4x)=0
2)sin^2 (x)+sin^2 (4x)+sin^2 (6x)+sin^2 (7x)=2

Каким методом лучше решать это уравнение, покажите как, надо проверить свое решение
[m]{{\sin }^{8}}x+{{\cos }^{8}}x=\frac{1}{1+t{{g}^{2}}x}[/m]

Сколько решений уравнения
[m]{{\cos }^{2}}(2x)+{{\cos }^{2}}(4x)=ctgx+1[/m]
лежит на отрезке [Pi/4,5Pi/4]. Никак не сходится с ответом(разница на 1).

С чего начать преобразование уравнения? Что-то не могу найти задел:

cos 6x + sin 5x/2 = 2

найти число корней уравнения на промежутке -пи до пи
cos3x + sin4x =1