Три посёлка А, Б и В

Три посёлка А, Б и В связаны просёлочными дорогами, при этом любые два из них связывают несколько (больше одной) дорог. Движение на дорогах двустороннее. Назовём путём из одного посёлка в другой либо связывающую их дорогу, либо цепочку из двух дорог, проходящую через третий посёлок. Известно, что посёлки А и Б связывают 64 пути, посёлки Б и В — 53 пути. Какое наименьшее число путей может связывать посёлки А и В?

34

У Гриши есть несколько карточек, хотя бы 3. На каждой написано целое число (числа не обязательно различны). Оказалось, что если выбрать любые три карточки, то сумма записанных на них чисел также записана на одной из карточек (не обязательно на одной из этих трёх). Какое количество ненулевых чисел может быть записано на карточках?

В школе 505 учеников. Каждый ученик посещает ровно одну
из восьми спортивных секций, ровно один из восьми научных кружков
и ровно одну из восьми студий художественной самодеятельности. Два
ученика дружат, если они посещают вместе ровно два разных занятия
(а иначе не дружат). Докажите, что найдутся 64 ученика, никакие двое
из которых не дружат.

Фигура «кенгуру» может ходить либо на клетку вверх по любой диагонали, либо на клетку вниз по вертикали. За какое наименьшее количество ходов кенгуру сможет обойти все поля доски 7×7 и вернуться в исходное поле?

Для натуральных чисел a и b известно, что 2а + 7b делится на 89, аb также делится на 89. Чему равно наименьшее значение 3а + 2b? В ответ запишите это наименьшее значение.