СПРОСИ ПРОФИ
👍
+1
👎 144

Старинная задача

Двенадцать человек несут 12хлебов:мужчина несет 2 хлеба, женщина-половину хлеба, ребенок -четверть хлеба. Сколько было мужчин, женщин, детей.
Одинаково ли надо объяснять решение 5-класснику и 7-класснику. Дети на домашнем обучении. Пространное словесное решение в задачнике дети не воспринимают. Мой ответ не полностью совпадает с ответом задачника.
интересные задачки математика обучение     #1   09 мар 2011 11:40   Увидели: 65 клиентов, 7 специалистов   Ответить
👍
0
👎 0
А какой Ваш ответ и какой в учебнике?
👍
+1
👎 1
1. Эту задачу нетрудно решить направленным перебором, лучше всего с составлением таблицы.
2. И пятиклассника, и тем более семиклассника вполне можно подтолкнуть к тому, чтобы решение нашли сами, может быть, под Вашим наблюдением, используя Вас, как внимательного слушателя, которому рассказывают решение, но без Вашей прямой помощи.
3. Семикласснику и пятикласснику доступны разные способы решения этой задачи. Семикласснику лучше сначала составить систему уравнений — два уравнения с тремя переменными. Затем упростить системы, воспользовавшись способом сложения уравнений (один из способов, который используют в 7 классе для решения систем уравнений.
В результате перебор станет совершенно простым.

P.S. Спасибо за задачу. Дам своей пятикласснице (думаю, что решит совершенно самостоятельно) и всем своим четвероклассникам.
👍
0
👎 0
А я дам первоклассникам. Во!
👍
0
👎 0
Первоклассники обычно еще не знают умножения и, тем более, деления. Так что не раньше второго класса. :)
Но лучше не раньше третьего.
Знания четвероклассника из хорошей школы и уровень решаемых задач редко ниже, чем у пятиклассника — если речь не идет о десятичных дробях и процентах. Чаще в пятом классе решают задачи проще, чем по многим программам решают задачи в четвертом классе. Так устроены учебники.
👍
0
👎 0
Вкусное решение для первого класса.
Закупаем 8 булочек и режем каждую на 4 части.
Расставляем 12 тарелочек.
1. На каждую кладем по одной четвертушке.
2. Начинаем докладывать на каждую тарелочку по 7 четвертушек.
3. Когда остаток не разложенных четвертушек меньше 7, остальные докладываем по одной.
👍
0
👎 0
Получится вариант решения (5,1,6). Но для первого класса приемлемо
👍
0
👎 0
Подобным образом нередко объясняю детям деление, задачи на деление и, особенно, деление с остатком, и почему остаток всегда меньше делителя (блольше или равен — продолжаем делить). 7:3 — делим 7 карандашей между троими, чтобы каждым досталось одинаковое количество карандашей (трое — ученик, я и мой кот, который обожает устраиваться между мной и учеником). Можно и на 5 — среди получателей карандашей могут быть ластики, например. Или карандаши могут играть роль персонажей, а делить шашки.
Именно так объясняю самое трудное для большинства: 3:5 — всем безралично, сколько получить шашек, лишь бы ровно столько же, сколько получит другой, и жду, пока ребенок не додумается, что частое 0.

Но в Вашем вкусном решеиии для первоклассников есть одни крайне существенный, на мой взгляд, недостаток — первоклассник не додумается такого решения сам, и подтолкнуть его недостаточно, придется именно объяснять.
👍
0
👎 0
Мне бы хотелось увидеть Ваши ответы, чтобы проверить себя, свое решение. Я сама решала подбором без уравнений. Меня уже стыдили за это. Буду пробовать через уравнения.
  #4   09 мар 2011 14:46   Ответить
👍
+1
👎 1
Ответов два : (5,1,6) и (4,8,0). Последний, видимо, не предусматривался составителями.

Диофантовы (целочисленные линейные) уравнения начинают давать в математических кружках в пятом классе, в некоторых школах — в седьмом классе, а в некоторых — никогда.

Типовая ошибка при решении этой задачи — "естественное" требование делимости z (количества детей) на 4, а у (количеста женщин) — на 2.
👍
+2
👎 2
Оба должны строить математическую модель задачи-составлять систему уравнений. Далее с ними надо обсуждать от какой переменной выгоднее избавиться, почему в каком смысле выгоднее. Когда осталось одно уравнение с двумя неизвестными надо обсуждать вопрос к какому типу уравнений свели. Это одно уравнение с двумя неизвестными, но неизвестные -неотрицательные, целые. В школах не проходят в младших классах. Как их решать. Что такое переборный метод. Методы сокращения перебора. В этой задаче- какую переменную выгоднее выразить через другую. В уравнении 7х+у=36. выразить х через у или наоборот. Почему при выражении х через у будет сокращение вариантов перебора. Почему в таких уравнения может быть несколько решений. В каких практических областях появляются переборные задачи. Существуют популярные примеры из эконометрики и криптографии.
👍
+1
👎 1
Пятиклассники не составляют систем уравнений — про программам по математике во всяком случае. Системы уравнений проходят впервые в седьмом классе. (Хотя у меня один четвероклассник пытается составлять системы, но торопить его не собираюсь: опережать программу да еще так сильно имеет смысл тогда, когда ученик сам до всего додумывается, а не когда ему кладут в рот — зачем?)
А вот семиклассник должен в данной задаче через систему уравнений прийти к уравнению 7х+у=36 сам. И я специально не хотела писать этого уравнения (готовым) Анне (автору старт-поста): раз берется самостоятельно учить на домашнем обучении, то тоже должна учиться вместе со своими детьми, а не получать от нас готовое.
👍
0
👎 0
Я также получила уравнение7х+36=0 (спасибо за помощь). И получила два решения, которые совпали с моими, полученными тупым подбором. Интересно, что первое моё решение (4,8,0) действительно отсутствует в задачнике. Я начала с него-детей не надо загружать(хоть это и неправильно с точки зрения воспитания). Уравнения после решения в задачнике дети восприняли почти с удовольствием.
  #10   10 мар 2011 10:28   Ответить
👍
+2
👎 2
Теперь я и сама поняла, почему надо выражать х через у, а не наоборот. Видимо, это можно использовать для развития математического мышления.
Быть может, у кого-то есть еще примеры переборных задач, чтобы потренироваться сокращать варианты.
  #11   10 мар 2011 10:32   Ответить
👍
+1
👎 1
" Сначала дадим все по половине хлеба. При этом будет роздано 6 хлебов. Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно раздать оставшиеся 6 хлебов мужчинам, а затем взять у каждого из детей по четверти хлеба и также распределить этот хлеб среди мужчин. Каждому мужчине до его нормы не хватает полтора хлеба. Шесть хлебов по полтора хлеба можно распределить между четырьмя мужчинами, после чего каждый из них будет нести по два хлеба. Отсюда следует, что мужчин не менее пяти. Иначе излишки хлеба, имеющиеся у детей, некому было бы нести. Но если бы мужчин было шесть, то они сами несли бы весь хлеб.........." Вот решение(часть его) из задачника.
  #12   10 мар 2011 10:43   Ответить
👍
+1
👎 1
Красиво кстати. Такие же решения для двух неизвестных придумываются очень просто. Типа "у кур и свиней вместе 20 голов и 52 ноги, сколько кого — приделаем каждой голове по две ноги, осталось 12 ног, значит 6 свиней и 14 кур". А для трех неизвестных остается еще некое ветвящееся рассуждение, которое в уме не проделаешь и на бумажку трудно записывать, пока маленький.
👍
+1
👎 1
Владислав Игоревич!
Для задачи, которую Вы приводите, это решение очень красивое.
А вот для задачи, которую дала Анна, рассуждения мне кажется на столько громоздкими, что будучи записанными из-за своей громоздкости теряют красоту.
👍
+2
👎 2
Математическая модель не теряет решений, а правдоподобные рассуждения могут потерять, что и произошло. Вот и надо учить свободному переводу текста задачи на математический язык, чего нет в большинстве школ.
👍
+3
👎 3
Правдоподобное рассуждение тоже залатывается. Фразой "Иначе излишки хлеба, имеющиеся у детей, некому было бы нести, если эти излишки есть, а если их нет, то получаем немедленно решение (4,8,0)".
👍
+2
👎 2
Пример задачи. На какое целое положительное число надо разделить 280, чтобы остаток от деления был в три раза меньше частного.
👍
0
👎 0
Это задача для тех, кто задает нам вопросы?
Преподавателям писать решение, как я понимаю, не нужно?
👍
+1
👎 1
Анна просила еще задачи. Задачи, где число неизвестных и уравнений не совпадает.
👍
0
👎 0
Неясно, примером чего является эта задача. На выходе получается целочисленное уравнение :

у(3х+1)=280.

Сидите и перебирайте себе варианты, пока не надоест.
👍
−1
👎 -1
Нет, не нужно перебирать все варианты.
Обозначаем
z=3x+1
и ищем все значения z — делители числа 280, которые сами при делении на 3 дают остаток 1. Это 7, 10, 28, 40, 70 и 280. Соответствующие им х и будут решениями задачи.
👍
+1
👎 1
А я что, говорил, что надо перебирать ВСЕ варианты ???

И еще. Вы действительно полагаете, что задача с тупым перебором шести вариантов (точнее, семи с последующим отсеиванием z=1) заслуживает рассмотрения на сайте ?
👍
0
👎 0
Нет.
Перебор не совсем тупой. Есть дополнительное условие, и нужно его увидеть и использовать. И уравнение нужно составить. Ученикам это совсем не помешало бы. Жаль, что мы с Вами все уже разжевали. (:

z=1 мне кажется стоит отсеить не в последствии, а сразу — на 0 делить нельзя.

(Игорь Владимирович! Не для Вас пишу.:) )
👍
+2
👎 2
Еще пример задачи.Решить в целых числах 19х-11у-7ху-7=0. Эта задача была на олимпиаде для семиклассников и на вступительных экзаменах в ВШЭ. Предыдущая задача для 7-классников и была на экзамене в МГЛУ.
👍
+1
👎 1
Эта задача намного веселее (видимо, по уровню чуть выше стандартного С6 и явно выше любой задачи из Галицкого). Возможны два способ решения.

1. После группировки и несколько утомительного счета получаем :

(7у-19)(7х+11)=-258.

Здесь, по крайней мере, нет длинного перебора (129 — простое число), а ответ (-20.3) — на поверхности.

2. Можно сразу запустить дробь

х=-(11у+7)/(7у-19)

по Евклиду, получить на выходе те же (-258) и из условия делимости 258 на (7у-19) получить тот же ответ.

На мой вкус, первый способ выигрывает. Возможно, это вкусовщина.

А теперь вопрос к Борису (всерьез, без приколов) : и причем, казалось бы, здесь математические модели ?
👍
+1
👎 1
Ошибка в уравнении. Надо 19х-11у-7ху+7=0. В этом уравнении я не нашел простого метода , все громоздко. Кстати, его никто не сделал в ВШЭ, быть может из-за недостатка времени на экзамене.
Мое ошибочное Игорь Владимирович уже делал, получил одно решение (-20,3). Но может быть есть еще решения, например, (-2,15). Может еще есть??
👍
+1
👎 1
М-да. Конечно, принять составное число 129 за простое — это из серии "Преподаватели жгут". Перебор вариантов становится более развесистым, и отсюда потерянное решение. Будет время, посмотрю внимательнее.

С моей колокольни, идейные различия между уравнениями отсутствуют. Попробуем с ходу написать решение со скорректированным условием.

19х-11у-7ху+7=-((7xy+11y)-(19x+7))=-(7y(x+11/7)-19(x+11/7)+((209/7)-7)))=
=-((7y-19)(x+11/7)+160/7)=0,

то есть

(7у-19)(7х+11)=-160.

Громоздкости нет никакой, но перебирать три десятка вариантов мне просто лень. А Вам ?
👍
+1
👎 1
Под громоздкостью я понимал, что и Вы. Быть может можно найти сокращение переборов.
👍
+1
👎 1
Откровенно говоря, кроме анализа остатков по модулю 7, никаких идей. То есть один из сомножителей имеет остаток 2 при делении на 7, а другой 4. Но вариантов все равно две дюжины.

Начало перебора :

1. (-1)160 и 1(-160) не проходят ;
2. (-2)80 и 2(-80) не проходят ;
3. (-4)40 не проходит, а (-40)4 проходит. Здесь

7у-19=-40 ; 7х+11=4,

то есть, если я нигде не обсчитался, (-1,-3) — первое решение.

В общем, ничего страшного. Еще 18 ведер, и золотой ключик будет наш.
👍
+1
👎 1
Продолжение перебора :

4. (-5)32 проходит, 5(-32) не проходит. Здесь
7у-19=-5; 7х+11=32. Второе решение : (3.-2).

5. (-8)20 и (-20)8 не проходят ;

6. (-10)16 проходит, 10(-16) не проходит. Здесь
7у-19=16 ; 7х+11=-10. Третье решение : (-3.5).
👍
+1
👎 1
Задача про число 280. Я делаю .как учили и как я учу. Сначала математическая модель задачи.
280=gq+r
q=3r
Система из двух уравнений с тремя целочисленными неизвестными. Можно отдать математикам.
Сразу возникает вопрос, от какой переменной выгоднее избавиться: от q или от r, почему. Как организовать процесс перебора с минимумом вариантов. Это и надо обсуждать с учениками, это важнее технико-математических операций.
👍
0
👎 0
Мы занялись задачей: на какое целое положительное число надо разделить 280....... Но потом нас совсем запутали рассуждения здесь:

На выходе получается целочисленное уравнение :

у(3х+1)=280.Сидите и перебирайте себе варианты, пока не надоест.
Обозначаем
z=3x+1
и ищем все значения z — делители числа 280, которые сами при делении на 3 дают остаток 1. Это 7, 10, 28, 40, 70 и 280. Соответствующие им х и будут решениями задачи.
Мы не нашли столько вариантов.???
  #29   11 мар 2011 14:00   Ответить
👍
0
👎 0
Евгения Павловна любезно перечислила все подходящие значения для

z=(3х+1).

Найти х после этого не составляет труда, а у получаются простым делением 280 на z.

Если Вас интересуют все ответы, вот они:

(2,40),(3,28),(9,10).(13,7),(23,4),(93,1).

Первые два ответа не подходят, т.к. остаток получается больше делителя. Остальные четыре можно проверять. Например, 280/9=30(10) и т.д.

Конечно, все это можно было написать сразу. Но на этой ветке форума такое не принято : считается, что правильнее преподавателю только "руководить" решением консультируемого.
👍
0
👎 0
Простите за "зевок". Третий вариант, конечно, тоже не проходит : 280/9=31(1)
Проверка начинается дальше, начиная с 280/13=12(4)
👍
0
👎 0
А все 6 вариантов, которые я называла в № 24 и которые Вы здесь воспроизвели, и не могут быть.
Когда перебираете z, нужно начинатт не с 7, а с 280. И перебирать до тех пор, пока впервые не будет нарушен принцип: остаток всегда меньше делителя. То есть реально используете z=280; 70; 40.
👍
+2
👎 2
Решаем систему
280=gq+r
q=3r
Мы знаем, что r принимает ограниченное число значений r=0,1,2, ,g-1. Следовательно, надо исключать q , r оставить и организовать перебор по r. Итак, получаем уравнение g= (280-r)/3r. Очевидно, подходит r=1, а поскольку в знаменателе 3, то следующие значения r=4, 7. У Вас r не должно превышать g-1. Итак, осталось вычислить три значения g-ответ.
При этом Вы обсуждаете с детьми, почему освобождаемся от q, а не от r, почему не не тотальный перебор по r, а через3(сокращения числа вариантов перебора). Добавляете при этом, что сокращение пенреборов-одна из центральных проблем современной математики.
Рекомендую Вам книгу моих друзей Ю. Пухначев, Ю. Попов Математика без формул.
👍
0
👎 0
Решали уравнение g= (280-r)/3r, получили 93,23,13. Здесь немного вариантов. Но в другой задаче вариантов неограничено, как тогда ????
  #38   12 мар 2011 09:32   Ответить
👍
0
👎 0
В какой задаче? Редко бывает неограниченное число вариантов, как правило, конечное число ответов.
👍
0
👎 0
см. #40. Неужели никто, кроме меня, не умеет считать ???
👍
+1
👎 1
В задаче решить уравнение 19х-11у-7ху+7=0 есть стандартный прием. Выделить целую часть и остаток r(x). Затем решать неравенство |r(x)|>=1, получится конечное множество х, но не маленькое, затем перебор, я так и делал. Игорь Владимирович предложил другой подход, но также перебор не очень маленький.
👍
+1
👎 1
Как раз стандартным является описанный мною прием. Загляните в самое начало книги Галицкого, Гольдмана, Звавича (3.115-3.119) и убедитесь в этом. Замечу, что эти задачи тематические как раз для 7-8 класса.

Перебор немаленький, но катастрофическим его не назовешь. Собственно,##36, 40, 43 и есть все решение. Почему эту задачу никто не решил, не понимаю.

А теперь я бы Вас попросил более не играть в загадки и рассказать о "стандартном" решении поподробнее.
👍
+1
👎 1
Никаких загадок нет. Выражаем, например, у через х , делим, получаем целую часть и остаток : у= (19х+7)/(7х+11)=2+(5х-15)/7х+11). Теперь решаем неравенство
|(5х-15)/7х+11|>=1, получаем -13=< х<=0 и х=3, далее перебор и четыре решения : (-13;3); (-3;5) ;(-1;-3); (3;2).

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 03

Один молодой человек живёт в Манхэттене возле станции метро   3 ответа

Один молодой человек живёт в Манхэттене возле станции метро. У него есть две знакомые девушки. Одна из них живёт в Бруклине, вторая — в Бронксе. Когда он едет к девушке из Бруклина, то садится в поезд, подходящий к платформе со стороны центра города. Когда же он едет к девушке из Бронкса, то садится в поезд, идущий в центр. Поскольку обе девушки нравятся ему одинаково, он просто садится в тот поезд, который приходит первым. Таким образом, в выборе,…

👍
+3
👎 30

Задача про клерка   0 ответов

Молодой клерк повенчался. Жил он у себя в общежитии. А обедать ездил то к маме, то к невесте. Контора, в которой он работал, мамин дом и дом невесты находились на одной улице. Контора по середине, а дома любимых женщин по разные стороны. По этой улице курсировал единственный маршрут. Автобусы двигались ровно через 9 мин друг за другом в обоих направлениях. Клерк выходя из конторы на обед всегда садился на первый подъехавший автобус. Но почему то у невесты обедал в 2 раза чаще, чем у мамы. Как такое может быть?
👍
0
👎 02

Полый бак имеет форму усеченного конуса. Высота бака 3 метра , Больший…   2 ответа

Полый бак имеет форму усеченного конуса.Высота бака 3 метра , Больший диаметр бака равен 2, 5 метрам , меньший 2 метрам , Если бак наполнять водой со скоростью 10 литров в секунду , сколько времени потребуется , чтобы заполнить бак полностью водой . (Подсказка : объём усеченного конуса можно найти в справочнике по элементарной математике Выгодского.)
  03 окт 2012 16:35  
👍
+1
👎 10

Двенадцать человек несут 12 хлебов   0 ответов

Двенадцать человек несут 12 хлебов: каждый мужчина несет по 2 хлеба, женщина — по половине хлеба, а ребенок по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?
👍
0
👎 05

Дети делят между собой мешок шариков   5 ответов

Дети делят между собой мешок шариков. Первый ребенок взял один шарик и десятую часть оставшихся шариков, потом второй взял 2 шарика и десятую часть оставшихся, затем третий взял 3 шарика и десятую часть оставшихся и т. д., пока последний ребенок не забрал все, что осталось. Сколько было детей и сколько шариков досталось каждому, если все дети получили одинаковое число шариков?

👍
0
👎 00

Внимательные натуралисты установили, что дневной рацион 17 медведей   0 ответов

"Внимательные натуралисты установили, что дневной рацион 17 медведей совпадает с рационом 170 болонок, рацион 100 000 летучих мышей совпадает с рационом 50 болонок, а 10 медведей съедают за день столько же, сколько съедают 4 слона. Сколько летучих мышей способны справиться с рационом дюжины слонов?"

(ну, как говорится, приятного аппетита...)
ASK.PROFI.RU © 2020-2021