Решить уравнение.

[m]30(3x+2)^4-x(x+1)(2x+1)(5x+4)=0[/m].

Решается в полевых условиях без компьютера и калькулятора.

Полагая [m]u =3x/2+1[/m] имеем
[m]120 u^4 = (u-(x+1))(u-x/2)(u+x/2)(u+(x+1)) = (u^2 — (x+1)^2) (u^2 — (u-(x+1))^2)[/m]
Если перейти к переменным [m]y=\frac{x+1}{u}, z=1-y[/m], то уравнение приводится к виду
[m]120 = 1-z^2 — y^2 +y^2z^2 = 1-(z+y)^2 +2yz + (yz)^2,\\
y+z = 1[/m]
Отсюда либо yz= 10, либо yz = -12, откуда имеем y=-3 или y=4 (плюс пару комплексных, но их, видимо, искать не надо?).
Решая уравнение [m]x/2=4(3x/2+1)[/m] имеем [m]x=-8/11[/m], из второго уравнения [m]x=-3/5[/m]

Здорово! Мной задумывался иной подход. Пока не выкладываю, может кто-то решит по-другому.

Разумеется, задача для школьников, и комплексные корни не требуются.

есть некоторая симметрия:
[m]30(a+b+c+d)=81abcd[/m]
[m]a=x, b=x+1, c=2x+1, d=5x+4[/m]

конечно:
[m]30(a+b+c+d)^4=81abcd[/m]

Задуманное решение.
[m]30(3x+2)^4-x(x+1)(2x+1)(5x+4)=0;[/m]
[m]30(9x^2+12x+4)^2-(x^2+x)\left((9x^2+12x+4)+(x^2+x)\right)=0;[/m]
[m]30(9x^2+12x+4)^2-(x^2+x)(9x^2+12x+4)-(x^2+x)^2=0;[/m]
[m]\left(\frac{x^2+x}{9x^2+12x+4}\right)^2+\frac{x^2+x}{9x^2+12x+4}-30=0.[/m]
Откуда получаются корни [m]-\frac{8}{11}[/m] и [m]-\frac35[/m].

[m]\frac{x^2 + x}{9x^2+12x+4}[/m] это и есть yz/2 в моем обозначении, так что у нас одинаковые решения :)

Ну Вы так виртуозно спрятали тот же путь решения под пеструю оболочку замен, что я и не разглядел. ;-)

x+y=96
3(a-x)+5(b-y)=35,
при этих условиях найти min |a-b|

Выделить корень из произведения: 123*124*125*126+1 (без калькулятора).
Заранее спасибо!

Один король хотел сместить своего премьер-министра, но при этом не хотел его слишком обидеть. Он позвал премьер-министра к себе, положил при нем два листка бумаги в портфель и сказал: "На одном листке я написал "Уходите", а на втором — "Останьтесь". Листок, который вы вытащите, решит вашу судьбу". Премьер-министр догадался, что на обоих листках было написано "Уходите". Как же, однако, умудрился он при этих условиях сохранить свое место?

[m]\[\left\{ \begin{array}{l}
{a^2} — ab + {b^2} = 9\\
{a^2} + ab = 18
\end{array} \right.\][/m]
как она решается?..

эту систему я получил, выделив полный квадрат в уравнении
[m]\[{(3x — {a^2} + ab — {b^2})^2} + {(2{x^2} — {a^2} — ab)^2} + {x^2} + 9 = 6x\][/m]

Найти все тройки целых чисел (x;y;z), удовлетворяющих неравенству
[m]\log_{2}{(2x+3y-6z+3)}+\log_{2}{(3x-5y+2z-2)}+\log_{2}{(2y+4z-5x+2)}>z^2-9z+17.[/m]

Теперь вот геометрия не поддается. По одной -всего три.
В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С опущена высота СD. Проекция отрезка BD на катет ВС равна l=27, а проекция отрезка АD на катет АС равна m=8. С точностью до одной сотой найти длину гипотенузы АВ (без калькулятора).
Пробовали, рисовали, но много неизвестных отрезков получается для нахождения гипотенузы.