👍 −1 👎 |
Разложение на множителиДоказать, что многочлен a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc не раскладывается на множители. Учусь в 8 классе, в спецшколе, дали задание домашнее без объяснений.
|
👍 0 👎 |
Какую тему проходите???
|
👍 +1 👎 |
Видимо, предполагается, что a, b, c не равны 0, т. к. в противном случае утверждение неверно.
|
👍 +4 👎 |
Вообще-то можно разложить на множители, например (a + b — c — 2Vab)(a + b — c — 2Vab). Под Vab подразумевается квадратный корень из произведения ab.
|
👍 +1 👎 |
(в одной из скобок перед удвоенным корнем, естественно, плюс)
|
👍 +3 👎 |
Видимо, центральной частью доказательства может быть следующее рассуждение.
Допустим, что многочлен a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc раскладывается на линейные множители с целыми коэффициентами: a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc = (ia+jb+kc)(la+mb+nc). Тогда il = 1, jm = 1, kn = 1, im+jl = -2, и так далее. Пытаемся решить получившуюсю систему уравнений. Если решение есть, то есть и разложение. Если решений нет, то нет и разложения указанного вида. |
👍 −4 👎 |
Спасибо, Юрий Анатольевич. Именно так и ставится задача в школе. Если бы я только заикнулся о другом, что здесь другие пишут, меня бы выгнали немедленно. Я много пропустил, болел, травма.
|
👍 +2 👎 |
Прошу прощения. Возможно, мне не хватает профессионализма. Беру свои посты назад. Но все-таки по моему весьма непрофессиональному мнению задача сформулирована некорректно. Наверно, стоило бы добавить на линейные множители.
|
👍 0 👎 |
Разумеется, стоило бы слово "линейные" добавить в формулировку задачи.
|
👍 +1 👎 |
С чего Вы решили, что множители должны быть линейными. Вот стандартная задача из школьного учебника.
Классы: 8,9,10 Условие Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен x^4 + x^3 + x^2 + x + 12? Решение Попробуем представить данный многочлен в виде (x^2 + ax + 3)(x^2 + bx + 4). Раскрыв скобки. получим соотношения a + b = 1, ab + 3 + 4 = 1, 4a + 3b = 1. Вычитая из третьего равенства утроенное первое, получим a = –2. Отсюда b = 3, что удовлетворяет и второму соотношению. Итак, x^4 + x^3+ x^2 + x + 12 = (x^2 – 2x + 3)(x^2 + 3x + 4). Ответ Можно. |
👍 0 👎 |
Я решил, что в данной конкретной задаче дабы избежать всяческих неоднозначных толкований авторам следовало бы это слово добавить. В Вашей задаче я бы по тем же самым причинам добавил слово "полиномиальные", хотя оборот "с целыми коэффициентами" делает такое уточнение необязательным.
|
👍 +1 👎 |
Пусть, пользуясь обозначениями Юрия Анатольевича,
[m]a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc = (ia+jb+kc)(la+mb+nc) = ...[/m]. Тогда, продолжая цепочку равенств, [m]... = (a,b,c)(i,j,k)^t(l,m,n)(a,b,c)^t = \frac12 (a,b,c)[(i,j,k)^t(l,m,n)+(l,m,n)^t(i,j,k)](a,b,c)^t[/m], т.е. матрица квадратичной формы — полусумма двух матриц первого ранга — а, значит, вырождена. В то же время определитель матрицы исходной квадратичной формы равен -4. |
👍 +6 👎 |
Для доказательства может быть полезна следующая идея.
Начальное выражение обладает симметрией относительно любых перестановок переменных. Такой же симметрией должно обладать и выражение после разложения на множители. |
👍 −2 👎 |
Нас мнгогому уже научили. Китайская теорема об остатках, теоремы Ферма и Эйлера. Но вот с матрицами мы еще не работали. Можно ли проще?
|
👍 +7 👎 |
Не знаю как коллеги, а я буду готов продолжить обсуждение при двух непременных условиях:
1) Вы приносите свои извинения Ольге Илларьевне; 2) Она Ваши извинения принимает. Дополнительное условие: извинения должны быть не формальными. Должно быть видно, что Вы, используя Вашу формулировку, действительно "почувствовали разницу" а) в статусе; б) в возрасте; в) в поле; г) в уровне квалификации. |
👍 +1 👎 |
Я имел опыт общения с учениками этой школы. Отличительная черта- непомерный гонор, причем поддерживаемый родителями. Однако у них есть слабость(слабость преподавания в школе). Они плохо решают текстовые задачи, особенно на стыке математики и физики. Иногда не могут ответить на самые простые вопросы из жизни. Например:
Человек поднимается на третий этаж пешком за 2 минуты, за сколько он поднимется на 9 этаж. Сколько раз в течение суток минутная и часовая стрелки сливаются. Катер из А в В на реке движется со скоростью 60 км/ч, обратно 40 км/ч. Найти среднюю скорость за все время движения. А если надо перейти в систему координат, связанную с течением реки, то полный ступор. Надо , кроме извинений, дать ему несколько простых задач, и пусть решит. |
👍 +1 👎 |
....Я имел опыт общения с учениками этой школы.....
Либо Вы — экстрасенс, либо Вы — "Дима". В Москве есть несколько сильных спецшкол, в России — еще больше. Откуда, интересно, Вам известен номер школы? И откуда Вам известны "проблемы" конкретного ученика? **************************************************** Хамить, конечно, не надо, но хамство было спровоцировано провокативными вопросами о том, "что такое разложение". По-моему, контекст тут абсолютно очевиден и не требует никаких уточнений. Disc. На всякий случай — я не писал в этой ветке ничего, кроме данного поста. |
👍 +2 👎 |
Опять Вы за свое. Я совсем не экстрасенс. Ученик сам указал (там где текст затёрт), что он из второй школы. У меня было три ученика из этой школы, поэтому я узнал проблемы (слабости) этой школы.
|
👍 +1 👎 |
Делать какие-то общие выводы (про "проблемы") по трем ученикам — это сильно.
А если про гонор — есть такое дело, почти в любой мат. школе. И мне тоже гонор второшкольников менее симпатичен, чем, например, гонор пятидесятисемитов. Хотя это и чистой воды вкусовщина и субъективность. |
👍 −1 👎 |
Я согласен, что я неправ. Как в школе на меня за малейшую ошибку, так и я такой же стал, наверное.
Меня спросили, кая тема, но я же тему указал. Разложение на множители в 8 классе. А мне говорят, что там могут корни участвовать или 10 х (a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc)/10. Я считал, что преподаватели понимают о каком разложении идет речь, для этого надо просто открыть учебник школьный. Я считал очевидны,что поскольку у меня 8 клас, то под задачей разложить на множители понимается задача типа такой: Разложить на множители 6х^3у+3х^2у^2-3ху^3. Конечный результат Зху(х+у)(2х-у). |
👍 0 👎 |
Еще раз прошу прощения за свою несдержанность. Дома мне уже досталось. Вот добавили еще похожую задачу. Выяснить , раскладывается ли на множители монгочлен, разложить, если можно.
a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2-2b^2c^2 |
👍 +5 👎 |
А на этот вопрос ответ в теме уже есть.
|
👍 0 👎 |
Не понял, где ответ, в чем он состоит и где доказательство. Наверное, я чего-то не понимаю или оно для меня сложно.
|
👍 +4 👎 |
А Вы перечитайте тему повнимательней.
И вспомните народную мудрость: "Не плюй в колодец..." |
👍 −3 👎 |
Прочитал, решения мне доступного не наше6л. Наверное, причина во мне. Но вот колодца с водой(и без воды) не обнаружил. Неужели моя школьная задача для Вас так трудна, что никто не дает решения на школьном уровне.
|
👍 +5 👎 |
Да, наверное, причина в Вас.
Вы не извинились перед Ольгой Илларьевной, поэтому и не можете увидеть решения, которое содержится в ее сообщении. Извинитесь — и истина Вам откроется. |
👍 −1 👎 |
Я извиняюсь перед Оьгой Илларьевной с учетом ее собственного признания..... У меня такое ощущение, что мне надо помолиться и истина откроется.
Вот Вы написали Что в данном случае считается разложением? Например, 10 х (a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc)/10 это разложение или нет? Разве Вы не в курсе, что в школе разлагают на множители группировкой и вынесением за скобки. Так много слов инет решений. Очень хочу увидеть истину. |
👍 +1 👎 |
Дмитрий, а вы пробовали до конца довести идею, изложенную Юрием Анатольевичем в посте номер 7? Она совсем несложно доводится до того, что указанная система уравнений решений не имеет, а, значит, нет и разложения.
Если пытались и не получилось, то приведите, пожалуйста, ваши рассуждения. |
👍 +2 👎 |
1) В сообщении #4 приведено разложение исходного выражения на два множителя, которые, правда, не являются многочленами, но если заменить переменные их квадратами, то получится именно разложение на многочлены. Это решение вашей второй задачи.
2) Вопрос "что такое разложение на множители?" — это не вопрос о методах разложения. Пока Вы не определили, какие множители хотите получить, не имеет смысла говорить о способах их получения. |
👍 +3 👎 |
Мы имеем дело с симметрическими многочленами. Есть классический результат. Любой симметрический многочлен от a,b,c можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических функций u=a+b+c, v=ab+ac+bc, w=abc.
Первый многочлен представляется в виде F1= u^2-4v, откуда с очевидностью следует вывод о неразложимости. Второй многочлен представляется в виде F2=u(u^3-4uv+8w)-разложение. Можно подойти к задаче разложения на множители другим способом. Будем считать многочлен F2= a64+b^4 +c^4 -2a^2-2b^2-2c^2 многочленом одной переменной, например, b. Можно проверить, что b=a+c является корнем этого многочлена, следовательно он делится на скобку(a+c-b) и т.д. В результате получаем разложение F2=(a-c-b)(a-c+b)(a+c-b)(a+c+b). |
👍 +3 👎 |
Честно говоря, не понял, каким образом из представления F1= u^2-4v с очевидностью следует вывод о неразложимости? В чём тут очевидность? Вот многочлен u^3-4uv+8w — второй сомножитель в F2 — разложим. Что в его внешнем виде так принципиально отличается от F1?
|
👍 +4 👎 |
Александр Борисович, спасибо!
Тоже подумала, что мне не очевидно, но решила, что это у меня за 5 лет без преподавания мозги совсем засохли, и постеснялась уточнять. |
👍 +2 👎 |
Ну да — после того, как Школьный учитель всех нас аттестовал неучами и выставил по неуду — как-то не хочется лишний раз подставляться. Совсем, можно сказать, запугал... Талант, однако!
|
👍 +1 👎 |
А если бы Вам поставили задачу . Разложить на множители a^2-4b , Вам тоже было бы не очевидно, что разложение невозможно. Была сделана замена переменных, причем хорошо изестно, что элементарные симметрические функции друг через друга не выражаются.
|
👍 +2 👎 |
Разумеется, невозможно разложение F1 на множители, полиномиальные относительно u и v. Но точно так же невозможно разложение u^3-4uv+8w на множители, полиномиальные относительно u,v,w. Тем не менее, это выражение прекрасно представляется в виде произведения (a-c-b)(a-c+b)(a+c-b). Никто ведь не сказал, что через элементарные симметрические функции должен выражаться каждый из сомножителей.
|
👍 +1 👎 |
И между прочим, [m]F_2=U^2-4V[/m], где [m]U=a^2+b^2+c^2[/m] и [m]V=a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2[/m] тоже не выражаются друг через друга.
|
👍 +7 👎 |
Хм, вот уже года 3 практически не появлялся на этом форуме, зашел — а здесь все то же. Господин Кругликов беседует со своими ботами, решая для них задачи.
Уважаемые коллеги! Не кормите тролля, он ненасытен. |
👍 +1 👎 |
да, я тут не так долго, но часто даже по названию темы, ясно кто ее создал. для меня прям развлечение: читаю посты и думаю"вот тут скоро появится ВМК" и "тадамм" появляется таки Кругликов. но находятся еще и защитники его. так, что на каждый товар свой купец
|
👍 0 👎 |
А Вам не приходит в голову совершенно тривиальная мысль. Выложена весьма простая задача для 8 класса. Если бы кто-то далее решение, то "Кругликову" было нечего делать.
|
👍 0 👎 |
Ну вообще-то решать задачи за ученика — не вполне правильно:
Правила раздела «Математика, физика, информатика, экономика» ... 4. На этом форуме за вас вряд ли сразу решат задачу, здесь вам помогут ее решить. (Ну а чтобы желание помочь не исчезло — нужно вести себя адекватно и не оскорблять потенциальных помощников.) |
👍 +4 👎 |
Хм, лично я вижу здесь слишком много "Но".
Волшебным образом на сайте вашего репетитора зарегистрирован учитель топикстартера. Волшебным образом он раньше ничего не писал, а теперь вот решил начать. Волшебным образом и учитель, и ученик дружно хамски себя ведут до появления Б.М. Кругликова и дружно восхваляют Б.М. Кругликова после появления последнего. У меня лично дежа вю. В данном случае еще и особенно забавная вещь — волшебным образом Б.М. Кругликов и учитель делают одну и ту же, довольно-таки детскую ошибку — считают, что если симметрический многочлен разложим на множители, то множители обязательно симметрические многочлены. Хотя, например, (x+2y)(y+2x)=5xy+2y^2+2x^2 очевидно симметрический, но не разлагается на симметрические множители. Вот по методу Б.М. Кругликова и Школьного учителя мы должны были сказать, что это 2U^2 + V, который очевидно не разложим на множители. И? |
👍 0 👎 |
Я ссылаюсь только на хорошо известную теорему
Теорема 2. (о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от трёх переменных представим в виде функции от трёх основных симметрических многочленов . Вы же мне приписываете утверждение, которого я не делал. |
👍 0 👎 |
Надеюсь Вам не нужна ссылка. Это есть в любом учебнике алгебры. Но все для Вас популярная ссылка.
Симметрический многочлен [править | править исходный текст] Материал из Википедии — свободной энциклопедии Основная теорема теории симметрических многочленов[править | править исходный текст] Основная теорема теории симметрических многочленов гласит, что любой симметрический многочлен может быть представлен единственным образом в виде многочлена от основных симметрических многочленов. |
👍 +1 👎 |
Не только. Вы утверждаете, что из вида F1= u^2-4v с очевидностью следует его неразложимость на множители — в то время как из него следует только неразложимость на симметричные множители. Об этом и пишет Александр Викторович.
|
👍 +2 👎 |
В таком случае вы доказываете следующее утверждение:
Предложенный многочлен не разложим на множители, являющиеся многочленами от элементарных симметрических. Это равносильно тому, что предложенный многочлен не разложим на симметрические многочлены. Это еще не означает неразложимость на множители вообще. Другое дело, что можно показать, что в разложении симметрического многочлена множители или симметрические, или идут группами по n штук, получаемых друг из друга перестановками, где n — число переменных. Отсюда автоматом следует, что у симметрического многочлена степени меньшей чем число переменных все делители симметрические. Но это несколько больше, чем требуется знать "простому восьмикласснику". |
👍 −2 👎 |
Вы только забыли, что восьмиклассник не простой, а из второй школы. Посмотрите его домашнее задание- тема:симметрические многочлены. Я то исходил из этого, имея опыт общения такими учениками. Да, согласен Вы все довели до логического конца.
|
👍 +2 👎 |
На №55. Строго говоря, Школьный учитель вовсе не утверждал, что ТС учится у него. Хотя в целом Ваши рассуждения, к сожалению, выглядят весьма правдоподобно.
|
👍 +1 👎 |
Вообще, конечно, подход с симметрическими многочленами в данном случае доводится несложно. Пусть мы представили наш многочлен в виде произведения двух одночленов (а многочлен степени 2 больше никак не представишь). Тогда если первый одночлен симметричен, то и второй симметричен и работает подход, изложенный выше.
А если первый одночлен P(a,b,c) не симметричен (т.е. один из коэффициентов при a,b,c отличается от двух других, для определенности коэффициенты при a). Тогда P(b,a,c), P(c,b,a) — многочлены, отличные от P(a,b,c) и друг от друга. При этом они первой степени и при a=b=c совпадают, т.е. взаимно просты. Проблема, потому что исходный многочлен делится на все три. |
👍 0 👎 |
Несомненно, так. Просто оборот "с очевидностью" мне в №36 показался не вполне уместным. А Ваше рассуждение никак не связано с представлением с помощью элементарных симметрических. Они здесь, как мне представляется, вообще не по существу.
|
👍 0 👎 |
Искренне надеюсь, что в данном случае это не так.
|
👍 0 👎 |
(это на №40)
|
👍 0 👎 |
Примите 'a' за переменную, сосчитайте дискриминант (он будет зависеть от 'b' и 'c'). Если бы разложение на однородные многочлены первой степени было возможно, то знак этого дискриминанта был бы неотрицательным для всех 'b' и 'c'. Возьмите теперь b = 1, c = -1. Чему равен дискриминант?
|
👍 +1 👎 |
Это Вы на какой номер предлагаете?
Старт-пост от марта 2014 г. |
👍 0 👎 |
Да, я заметил это только после того, как ответ напечатал. Задачка показалась симпатичной
|
👍 0 👎 |
Разложите многочлен на множители:2bc+ac-8b-4a
|