Олимпиадные задачи, решение которых использует разложение натуральных чисел на простые множители

Может кто-нибудь подскажет несколько олимпиадных задачек?

Ну можно взять классическую литературу, например «Математика, ЕГЭ 2018, Профильный 19» — авторы Вольфсон, Пратусевич, Рукшин.

В строчку написаны восемь подряд идущих натуральных чисел. Всегда ли можно выбрать среди них такое число, что оно не имеет общих простых делителей с остальными семью

Винни-Пух выписал в строчку восемь подряд идущих натуральных чисел. Всегда ли Пятачок сможет выбрать среди них такое число, что оно не имеет общих простых делителей с остальными семью?

Для натуральных чисел a и b известно, что 2а + 7b делится на 89, аb также делится на 89. Чему равно наименьшее значение 3а + 2b? В ответ запишите это наименьшее значение.