Неравенство в натуральных числах

Имеет ли натуральные решения неравенство?

10/43 < 1/x + 1/y < 7/30

Как решать?

Предположите, что x <= y и оцените x сверху и снизу.

Высота правильной треугольной пирамиды равна 43√, а радиус окружности, описанной около ее основания, 12. Найдите угол между боковым ребром пирамиды и основанием.

Решить уравнение в натуральных числах
x+y=97 при условии
[m]25x-5y\to \underset{x,y}{\mathop{\min }}\,[/m]

[m]n^3-n=k^2-k[/m]
Наткнулся я на красивое сравнение чисел
[m]\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{6}}}+\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+...+\sqrt[3]{6}}}[/m] и 5.

И придумал я аналогичное сравнение
[m]\sqrt{210+\sqrt{210+...+\sqrt{210}}}+\sqrt[3]{210+\sqrt[3]{210+...\sqrt[3]{210}}}[/m] и 21.

А вот обнаружить еще или доказать их отсутствие у меня пока не выходит. А все потому, что уперся я в уравнение в натуральных числах в заглавии темы, и решить его не получается. Может быть, кто-то сможет придумать что-то дельное. :-)

Помогите, пожалуйста, решить уравнение в натуральных числах.
Ответ очевиден, а как доказать, что других решений нет?
m!+7m+20=n^2

Есть такая задача. Решить в целых числах 3^x+4^y=5^z. Скорее, думаю, сложность в доказательстве единственности решения, одно очевидно.