Не понимаю очевидность решения! С5

Решение приведено здесь http://kl10-641.narod.ru/C140509.pdf задача С5. Не понимаю, почему решений 8, если пересечение в 2-х точках? и почему именно между 6пи и 8 пи, не начиная с 2пи? объясните. пожалуйста поподробнее.

В задаче вопрос про значения параметра a, поэтому именно на него надо смотреть, как на переменную величину.
Корни исходного уравнения — это пересечения прямых [m]y=\pi k[/m] с полуокружностью радиуса a. Чтобы корней было ровно восемь, нужно, чтобы полуокружность пересекалась с четырьмя такими прямыми (по два пересечения с каждой прямой: одно слева, другое симметрично справа). А четыре прямых укладываются как раз когда радиус полуокружности от [m]3\pi[/m] до [m]4\pi[/m] — тогда прямые с номерами k=0,1,2,3 будут пересекать полуокружность, а прямые с номерами от 4 и больше — пройдут выше неё.

Все именно так, только у=2Пk, и значения параметра получаются вдвое больше.

Видимо, автор start-post не посмотрел на график аргумента косинуса на плоскости "аргумент-параметр" или впервые видит эту плоскость.

В древней рукописи приведено описание города, расположенного на 8 островах.
Острова соединены между собой и с материков мостами. На материк выходят 5 мостов; на
4 островах берут начало по 4 моста, на 3 островах берут начало по 3 моста и на один
остров можно пройти только по одному мосту. Возможно ли такое расположение мостов?
Как лучше объяснить решение этой задачи 6- класснице, надо, чьобы попасть в 7 мат класс.

Пожалуйста, помогите решить задачу для 4-го класса.
Я уже всю голову себе сломал.

Лёша написал два числа: 4 и 12. Дима придумал некоторое правило и продолжил по нему последовательность: 4, 12, 8, 10, …
Каким будет следующее число?
Как Вы думаете, по какому правилу Дима продолжал последовательность?

Задача из варианта прошлых лет для поступающих в школу "Интеллектуал" в 5-й класс, опубликована тут:
http://sch-int.ru/sites/default/files/_uploaded/doc/primery1tour.pdf

Мы из МИРЭА(информационная безопасность) почитали "вопрос по алгебре" , Там очень похожие на наш типовик вопрсы. Может кто-то из преподавателей нам поможет. Нам так преподают, что почти ничего не понимаем или мы такие. Вот ссылка на наш типовик.
http://vyshka.math.ru/pspdf/1112/algebra-1/sam_rab_1.pdf

Найти все а из отрезка 0;2пи такие, что система имеет хотя бы одно решение х^2+y^2+2z(x+y+z)-sin a=0
(x+1)(sin(a/2))^2+y^2корень(х)+a^2корень(z)+sin(3a/2)=0

Первое уравнение преобразуется (x+z)^2+(y+z)^2=sin a>=0,
из второго x>=0, z>=0 откуда х+1>=1 и при положительности всех слагаемых -sin(3a/2)>=0 откуда 2пи/3<=a<=4пи/3...
Итог при равенстве sin a =0 решением является 0, пи, 2пи и у уравнения (0,0,0) -решение, а вот при неравенстве не ясно что делать, помогите, пожалуйста.