Помогите - продолжить последовательность 4, 12, 8, 10, …

Пожалуйста, помогите решить задачу для 4-го класса.
Я уже всю голову себе сломал.

Лёша написал два числа: 4 и 12. Дима придумал некоторое правило и продолжил по нему последовательность: 4, 12, 8, 10, …
Каким будет следующее число?
Как Вы думаете, по какому правилу Дима продолжал последовательность?

Задача из варианта прошлых лет для поступающих в школу "Интеллектуал" в 5-й класс, опубликована тут:
http://sch-int.ru/sites/default/files/_uploaded/doc/primery1tour.pdf

Каждое следующее — полусумма двух предыдущих.

Тогда получается: 4, 12, (4+12):2=8, (12+8):2=10, (8+10):2=9, (10+9):2=9,5, и так далее.
Но четвероклассники еще не учили десятичные дроби. Обыкновенные учили — но не действия с ними!
Формально требуется найти одно следующее число. Это 9.
Но что это за задание, если ребенок не может продолжить последовательность дальше?

Каким будет следующее число?
В рамках вопроса всё нормально. И правило тоже озвучивается без проблем.

Но ненормально, чтобы ученик не попытался посмотреть, а что дальше. Это означало бы, что уже к 4 классу убито любопытство и по существу — интерес к математике, что уже к 4 классу исполнительность стала главным качеством.

Вы преувеличиваете и недооцениваете. ;-)
Преувеличиваете, видя здесь какой-то умысел.
А недооцениваете, потому что сообразительный школьник к концу 4 класса уже хорошо может знать, что такое половина, да и вообще какая-то дробная часть, пусть даже не зная, как это записать. А для задачи ничего из этого и не требуется.

Знать, что такое половина, школьник обязан не позднее третьего класса — половина, треть, четверть... и их запись в виде обыкновенных дробей в большинстве учебников программа третьего класса (некоторые, в частности, занковские учебники, идут уже в третьем классе дальше, но есть такие, которые знакомят с этими понятиями в четвертом классе).
Здесь дело совсем в другом.
Пусть ученик догадается даже, что второе число — это 9 и 1/2.
А дальше (если он любознательный): попытается сложит 9 и 9,5, а потом сумму разделить на 2. А вот это уже далеко за пределами программы.

Да, это меня и смущает, не верю, что тут могли появиться дроби, все-таки кажется, что вступительный экзамен должен опираться на стандартную программу.
И хотя формально вроде написано, что нужно найти "следующее число" (только одно?), все равно, не покидает ощущение какой-то неправильности этой задачи.

К сожалению, вступительные в 5 класс далеко не всегда опираются на программу начальной школы — не то, что базовую, но и самого высокого уровня.

Ну, целая часть полусуммы :) Если это тоже выше понимания четвероклассников — переформулируйте в терминах четности-нечетности.

И обратятся запретные 9 с половиной в кошерные 9.

Слова о целой части и дробной части для тех четвероклассников, кто учится по системе Занкова, до сих пор были среди употребляемых. :-)

Ну вот, а Вы сразу переживаете за "убийство любопытства" :)

Вообще все задачи типа продолжите последовательность чисел или угадайте правило, по которому построена последовательность чисел достаточно бессмысленны, т.к. имеют бесконечное число решений.

В данном случае рассмотрим многочлен:

[m]P(x) = 3x^3-24x^2+59x-34 = \frac{2}{3}(2-n)(3-n)(4-n)+6(n-1)(3-n)(4-n)+4(n-1)(n-2)(4-n)+\frac{5}{3}(n-1)(n-2)(n-3).[/m]

Из его вида понятно, что на первых четырех натуральных числах: 1,2,3,4 он принимает значения 4, 12, 8, 10 соответственно.
В качестве правила Леша мог использовать любую функцию вида:

[m]F(x) = 3x^3-24x^2+59x-34+ (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)f(x),[/m]

где f(x) определена на всех натуральных числах.

Т.е. если надо решить подобную задачу, то думать не обязательно, надо построить соответствующий многочлен, что-то к нему прибавить (если есть желание) и объявить, что это то самое правило, которое было загадано. Оспорить, что было загадано другое правило, невозможно.

Задача для 4-го класса.
Если бы ученик мог бы решать задачи тем способом, что предлагаете Вы, то он бы точно не сдавал экзамены в 5-ый класс.
Вообще говоря, с точки зрения математика-профессионала Вы, конечно, правы: задачи типа "продолжи последовательность" бессмысленны и элементарны. А вот с точки зрения школьника — это очень хороший тренажёр для развития умения выявлять закономерности.

Я, честно говоря, не знаком с программами 1 — 8 классов по математике совсем и имею только общее представление о программе 9-го класса, т.е. для меня школьная математика начинается с 10-го класса, а все, что до этого в школьной математике происходит --- это некоторый черный ящик, про который я знаю, что есть на входе и что должно получиться на выходе.

Если решение приведено, то от учащегося требуется только разобраться в нем, а это существенно проще, чем первоначально решение предложить. Формально приведенное мной решение элементарно, т.е. не использует ничего, выходящего за пределы понятия функции (а можно и без этого понятия обойтись, наверное) и операций с рациональными числами. Хотя если в 4-м классе есть проблемы со сложением рациональных чисел, то, по всей видимости, шансов понять идею Лагранжа у четвероклассников мало.

Шансов ровно 0.

Ок. А к какому классу хорошие школьники смогут разобраться в том, что я написал?

Нижняя граница — это конец 8 класса, да и то ученик, являющийся продвинутым олимпиадником. Но это только касательно понимания написанного, сам он свой многочлен не составит.

В 4-м классе не учат сложение рациональных чисел.

Ой. А как формулируется первое в жизни школьников определение рациональных чисел? Или на самых первых порах они и без определения могут? (Да, я знаю, что я ленивый и мне следовало бы самому прочитать учебники с 1-го по 9-й классы, но я же ленивый, мне легче спросить).

Суть: рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби.

Таким образом сюда попадают правильные дроби, неправильные дроби, целые числа, смешанные числа, десятичные дроби, периодические дроби.

Обычно — второе полугодие шестого класса.

Сколько трехзначных чисел, сумма которых меньше 6?

Сколько всего трехзначных чисел минимум с одной четной цифрой?

Найдите следующие два числа по закономерности? 24,68,02,46,* *