Метод математической индукции

Простые числа , начиная с числа 5 , пронумеровали . Число 5 получило номер 1 , число 7 — номер 2 и так далее . Докажите , что каждое число больше своего утроенного номера.

-е простое число в указанной нумерации).

База индукции. [m]3\cdot 1< 5.[/m]

Предположение индукции. Пусть для всех [m]k[/m] меньших [m]n[/m] мы доказали, что [m]3\cdot k < p(k)[/m].

Шаг индукции. Т.к. [m]p(n-1)[/m] --- это простое число, то [m]p(n-1)+1[/m] --- это четное число, значит [m]p(n)\ge p(n-1)+2[/m]. По предположению индукции имеем [m]3(n-1)<p(n-1)[/m], значит (т.к. мы работаем с натуральными числами) [m]3(n-1)+1\le p(n-1)[/m] и мы можем записать:

[m]3n=3(n-1)+1+2\le p(n-1)+2\le p(n).[/m]

Равенство [m]3n=p(n)[/m] невозможно в силу того, что [m]p(n)[/m] есть простое число и [m]n\ge 2[/m], значит необходимо выполнено: [m]3n<p(n)[/m].

Андрей Михайлович , спасибо!

Вывести формулу и доказать её методом математической индукции
1^2+4^2+...+(3n-2)^2

"Предприятие получило кредит на три месяца под залог 1 000 акций, курсовая стоимость которых составила 15 000 руб. Номинальная величина кредита – 85 % от курсовой стоимости акций. Процентная ставка за кредит – 14,8 % годовых. Банк за обслуживание кредита взимает 0,4 %. Рассчитать реальную процентную ставку.

При исследовании последовательности a(n) на монотонность, начиная с какого-то номера, можно ли рассматривать последовательность b(n) такую, что a(n) эквивалентно b(n) при n стремится к бесконечности? Если да, где посмотреть доказательство?

Не получается доказать методом мат индукции, что сумма кубов последовательных натуральных чисел равна квадрату их суммы. Когда задаю n=k+1, ничего не сокращается. Помогите, пожалуйста

На кольцевом шоссе стоят несколько автомобилей с общим запасом бензина , достаточным , чтобы объехать весь круг . Докажите , что можно сесть в один из автомобилей и проехать все шоссе , забирая бензин у остальных автомобилей .