Матрица

Дана матрица А 2010 на 2010, каждый элемент которой — либо 1, либо -1, причём в касждой строке единиц чётное число. Найти на какие числа делится detA из промежутка 2001-2021

Совершенно очевидно без всякой математики , что этот определитель делится на 2^2010. Но может быть и еще на что-то.

(1) Вопрос в старт-посте поставлен некорректно.
Всевозможных матриц, удовлетворяющих указанным
в старт-посте условиям, очень много.
Разве у них у всех одинаковый определитель?
Если определители могут быть разными,
то можно задать вопрос либо так:
а) на какие числа определитель ОБЯЗАТЕЛЬНО делится?,
либо так:
б) на какие числа определитель МОЖЕТ делиться?

(2) Среди матриц, удовлетворяющих указанным в старт-посте
условиям, есть матрицы с определителем, равным нулю.
Ноль делится на любое число.
Если получится доказать, что у каждой такой матрицы определитель
равен нулю, то вопрос будет решён полностью, и моё замечание (1)
о необходимости различать "ОБЯЗАТЕЛЬНО" и "МОЖЕТ" снимается.
Но пока мне не верится, что у всех таких матриц определитель 0.

(3) Комментарий к #2.
Мне не очевидно, что "этот определитель делится на 2^2010".

(4) Ещё один комментарий к #2.
Число 2^2010 не попадает в промежуток 2001-2021.

Это задача студенческой олимпиады МФТИ. Я кое-что перепутал. Из промежутка 2^2001-2^2021. В другом варианте доказать, что есть деление на 2^2009.

А если первую строку сложить с остальными?

2^2010 и будет ответ. На 2^2009 видно из сложения первой строки с остальными, тогда можно все строки кроме первой после этого поделить на 2 и рассматривать матрицу только из 0 и 1, где в каждой строке нулей чётно (модули изначальной матрицы и этой отличаются в 2^2009 раз). Далее, заметим, что можно (безболезненно для модуля определителя) привести эту (новую) матрицу к верхнетреугольной, просто вычитая и переставляя строки. Теперь заметим, что при таком алгоритме сумма чисел в каждой строке будет чётна, что гарантирует чётное число в последней строке, последнем столбце после применения этого алгоритма (отсюда имеем, что определитель новой матрицы — чётный). Осталось только соорудить матрицу из 0 и 1, у которой модуль определителя равен 2. Это можно сделать так: первая строка заполняется 1, во второй строке 1 только на втором и 2010 месте, в 3ей строке 1 на 3 и 2010 месте, ..., в 2007 строке 1 на 2007 и 2010 месте, в 2008 строке 1 на 2008 и 2009 месте, в 2009 строке 1 на 2008 и 2010 месте, в 2010 строке 1 на 2009 и 2010 месте, остальные 0. Из приведения к верхнетреугольной видно, что она подходит.

Вроде нигде не наврал?

Значит определитель делится и на2^2009(что стало очевидно после прибавления первой строки к остальным)и на 2^2010(что для меня совсем не чевидно). Спасибо за помощь.

В моём решении есть пара мелких неточностей, но их легко исправить. Если Вам очень нужно — подумайте, что и как).

Очевидно после сложения строк с первой detA=2^2009detB, далее не так сложно показать, что detB=0(mod2), значит делится на два, значит detA делится на 2^2010. Ранее я указал, что это очевидно, но очевидно не из математических соображений, а психологических, зря я кроме Физтеха учился в специальных учебных заведениях.

Нет, не зря меня научили узнавать ответы.

"А если первую строку сложить с остальными?" (Б-М Кругликов, #5)

"...видно из сложения первой строки с остальными..."
(Дружков Константин Павлович, #6)

А в каких специальных учебных заведениях учат изъясняться таким языком?
Мне были бы понятны такие фразы:
(а) к первой строке прибавить вторую,
(б) ко второй строке прибавить первую,
(в) к первой строке прибавить все остальные строки,
(г) ко всем строкам (кроме первой) прибавить первую строку.

Это всё РАЗНЫЕ действия.
Было бы хорошо, если бы участники форума изъяснялись на понятном языке.
А просто "сложить первую строку с остальными" — это непонятно.
Ну, сложим. А дальше что будем делать с получившейся строкой-суммой?
Напишем её на стене? или на потолке?

И почему участники дискуссии отказываются уточнить,
какую задачу обсуждают? (См. #3, замечание (1).)
Это что? Неуважение к собеседникам?
Неуважение к другим посетителям форума?
Или (боюсь предположить) непонимание того, что имеются две РАЗНЫЕ задачи?
Может быть, имеет место и непонимание разницы в действиях (а) и (б)
над матрицами? И непонимание разницы в действиях (в) и (г) над матрицами?

Если буквально понимать условие задачи (как в математике и должно быть в идеале), то задача будет третьей: найти всевозможные подмножества данного множества [m]{2^2001, 2^2002, ..., 2^2021}[/m] такие, что для них существует матрица A указанного вида, определитель которой

Прошу прощения, сообщение отправил случайно оборванным и с неверно набранным ТЕХом, так что перепишу его сюда:

Если буквально понимать условие задачи (как в математике и должно быть в идеале), то задача будет третьей: найти всевозможные подмножества данного множества [m]\{ 2^{2001}, 2^{2002}, ..., 2^{2021} \}[/m] такие, что для них существует матрица A указанного вида, определитель которой делится на элементы этого подмножества, но не на элементы исходного множества, не являющиеся элементами подмножества.

Однако, интуиция подсказывает, что авторы хотели увидеть решение другой задачи, в которой надо найти максимальное по включению подмножество, на элементы которого делится определитель каждой из матриц указанного вида. Её я и обсуждал.
(Среди трёх возможных, у одной слишком очевидное решение — Вы его приводили, а третью можно обсудить отдельно, если окажется, что именно она имелась в виду).

Про фразы, которые Вам были бы понятны:
Ваши пункты (а) и (б) очевидно отношения к смутившей Вас формулировке не имеют. Странно тогда, что Вы не выписали вообще все фразы, которые Вам понятны. Речь шла (надеюсь Вы и так это понимали) про (г).

Надеюсь, Вам стало чуточку понятнее.

Длины диагоналей ромба a и b – целые числа. В ромб вписан квадрат с длиной
стороны q = 2001. Найдите a и b. Сколько имеется таких ромбов разной формы?

Прошу помощи. Задача –кусок дипломной работы. Научный руководитель не может помочь по здоровью.
Рассматривается случайное разбиение промежутка [m][0,\infty )[/m] такое, что последовательные длины отрезков разбиения являются выборочными значениями некоторой неотрицательной целочисленной случайной величины с заданным распределением. Пусть имеем два таких разбиения, Строится новое разбиение объединением точек деления промежутка, Задача состоит в исследовании распределения длин отрезков этого нового распределения.

В классе у каждого ученика есть 1 враг и 1 друг.На уроке враги дерутся,а друзья болтают
Доказать что:
-в классе чётное количество учеников
-класс можно разделить на 2 группы,в которых все будут вести себя спокойно
Прошу подсказку,спасибо!

Объясните, пожалуйста, корректно ли условие задачи:

Дано, что сумма кубов двух чисел равна их разности.
Доказать, что сумма их квадратов меньше 1.

Вроде, очевидно, что лажа в условии.

Взято отсюда http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=2021
Там тоже выясняют корректность условия.

Может быть так надо:

Доказать, что найдутся два таких числа x,y>0 (или x,y<0) с суммой кубов, равной их разности, что с их сумма квадратов будет меньше единицы.

дана задача : на какое максимальное число честей может разбить плоскость 2010 прямых? мне сказали что нужно решать используя характеристику эйлера... я прочитала... и ничего не поняла... объясните пожалуйста!!