Линейные пространства.

Найти матрицу оператора поворота вокруг прямой l на угол phi
l: x=-y=-2z , phi=-pi/2.
Не подскажите как решить эту задачу?.

Первое, что пришло в голову. Направляющий вектор нашей прямой a=(1,-1,-1/2). Можно подобрать ортонормальный базис {c1, c2, c3}, в котором наша прямая будет осью Z, например, методом ортогонализации Шмидта. Тем самым будет найдена ортогональная матрица "C" перехода от стандартного базиса к {c1, c2, c3}. Искомая матрица оператора поаорота равна CPC', где C' — обратная (она же транспонированная) к C матрица, а P — матрица поворота вокруг оси Z на нужный угол.

Искомый оператор называется оператором Адамара или 90-градусным импульсом (в оптике и магнитном резонансе). Поищите его в энциклопедии.

Если нужно "посчитать руками" — вариат Марка Михайловича очень хороший.

Вобще-то иатрица оператора определяется обнозначно его действием на базисе. Предложенная жорданова форма не покатит т. к. это не будет вращением вокруг указанной прямой т. к. в новом базисе она станет осью Z.

Стоп. Как это не покатит? Есть матрица перехода из исходного базиса в новый базий {c1, c2, c3}, и есть матрица оператора искомого поворота в новом базисе {c1, c2, c3} (её мы легко выпишем прочитав про углы Эйлера). После ищем матрицу перехода из нового базиса в исходный (как обратную матрицу) и строим композицию отображений (получаем матрицу поворота в исходном базисе).

Так прокатит, все правильно. Но несколько длинно A=C'JC. Я имел ввиду, что просто жорданову орму предложить не пойдет т. к. прямая поворота в этом базисе будет иметь направляющий вектор (0, 0, 1) Попробовал, кстати, выписать напрямую, как действие на базисе, тоже длинно получается. Нужно проекции базисных векторов на ось считать.

треугольник со сторонами 25,17 и 28см,вращаются вокруг прямой,параллельной меньшей стороне и удаленной от нее на 20 см.найти площадь поверхности полученного тела,если ось вращения и вершина,противолежащая меньшей стороне,лежат по разные стороны от прямой содержащей эту сторону.

Доказать, что множество [m]M=\left\{ a{{e}^{t}}+b{{e}^{2t}}+c{{e}^{3t}} \right\}[/m] функций x(t), заданных на всей действительной оси, образует линейное пространство. Найти его размерность и базис.
Много пропустил из-за болезни. Вот за это не сдал экзамен.

Учусь в техническом ВУЗе, читали матрицы, определители, решение систем линейных уравнений, а потом задание, где один из 4 вопросов вот этот. Ничего похожего не решали. С чего начать, поясните, хотя бы схему решения. Дальше я сам.
Для треугольной пирамиды с вершинами А(-1,-3,-1), В(1,2,3), С(5,4,3), D(5,-5,3) ,заданными в декартовой системе координат, определить матрицу оператора проекции на плоскость грани АВС.
Вот все задание, не знаю , получится ли?
http://s4.hostingkartinok.com/upl….jpg

1. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения (x, a) = p, а также его частного решения, коллинеарного вектору а:
1) на плосктости;
2) в пространстве.

Ну если расписать скалярное произведение по определиню
[m](x, a) = |x| \cdot |a| \cdot \cos phi = p[/m] и выразить отсюда |x| то получится [m] |x| = \frac{p}{|a| \cdot \cos phi} [/m]
И как мне это представить в геометрической интерпретации??
И может плясать от того что скалярное произведение это число, а значит точка. и все решения этого уравнения множество точек. Только вот какое?

Помогите, пожалуйста, вычислить интеграл
\int\limits_0^{2\pi} e^{-i m\phi} (\cosh\alpha-\sinh\alpha\sin\phi)^{\sigma-k}
(\cos\phi+ i(\cosh\alpha\sin\phi-\sinh\alpha))^k d\phi

Тому, у кого получится, спасибо

Линейное преобразование унитарного пространства С2 задано матрицей (1 2i / 2 -i)в ортонормированном базисе.Доказать что она нормальная и найти ортонормированный базис из собственных векторов. Пробовал доказать ее нормальность, нашел эрмитово сопряжённую матрицу,но не могу понять что значит коммутирует,и как мне потом найти ортонормированный базис из собственных векторов,их я уже нашел