Матрица проекции

Учусь в техническом ВУЗе, читали матрицы, определители, решение систем линейных уравнений, а потом задание, где один из 4 вопросов вот этот. Ничего похожего не решали. С чего начать, поясните, хотя бы схему решения. Дальше я сам.
Для треугольной пирамиды с вершинами А(-1,-3,-1), В(1,2,3), С(5,4,3), D(5,-5,3) ,заданными в декартовой системе координат, определить матрицу оператора проекции на плоскость грани АВС.
Вот все задание, не знаю , получится ли?
http://s4.hostingkartinok.com/upl….jpg

В Вашем задании требуется найти две матрицы: в базисе, состоящем из векторов, идущих вдоль ребер пирамиды и в стандартном базисе.
Первая матрица выглядит совсем просто: каждый из базисных векторов пл-ти основания переходит в себя, а третий базисный вектор переходит в 0.
А вторая матрица строится как обычно с помощью матрицы перехода.

К сожалени.(для себя, конечно),я ничег не понял. Ваши слова мне ничего не говорят. Может быть, какой нибудь пример.

)) Хорошо.
Начнем с построения базиса. Если А(-1,-3,-1), В(1,2,3), С(5,4,3), D(5,-5,3), то какие координаты (в стандартном базисе) имеют векторы AB, AC и AD? Образуют ли эти три вектора базис трехмерного пространства?

Ну это я понимаю. Например, АВ-(2,5,4). Да, они образуют базис потому, что они линейно независимы. Мне хочется формулу вычисления матрицы проектирования, смотрел в учебниках, нигде не нашёл.

Замечательно. Идем дальше. Что такое матрица оператора в данном базисе?

Студент, видимо, успокоился. А я не совсем. Я проверил студента-он верно нашел матрицу, проекция у=(4,2,0). Но сам я находил матрицу иначе, проще. Но матрица получилась другая, при этом проекция такая же. Поэтому у меня к Вам просьба-выложить свое решение с матрицей.

Ну зачем тянуть кота захвост. У меня один день остался. Матрица оператора проектрования- я так понимаю переводит вектор AD в подпространство из векторов АВ и АС. Вы просто скажите есть формула или нет .

Матрица — это таблица чисел (в данном случае, три на три).
Матрица оператора строится так: в первом столбце координаты образа первого базисного вектора в данном базисе, во втором — второго, в третьем — третьего.
Вот и подумайте, что происходит с базисными векторами при проектировании.

Кстати, а проектирование в задаче ортогональное? Или нет?

В #2 я имела в виду проектирование вдоль третьего базисного вектора. Если требуется ортогональное проектирования, то ответ будет более сложным: первые два вектора переходят в себя, третий — в их линейную комбинацию (которая уже была найдена в п. 2.2))

Почему в учебниках пишут математики всего очень много, но не могу найти формулу. И Вы также говорите так же. Я знаю, что матрица -таблица. Я даже понимаю, что матрица проектирования должн переводить вектор AD в его проекцию, да ортогональную. Я задаю конкретный вопрос-есть ли расчетная формула, покажите ее. Если такой формулы нет, то как поступать? я не собираюсь становиться математиком, мне нужны расчетные формулы или алгоритмы.

А Вы пункт 2.2) уже сделали?

Опять вернулись в начало. Я же Вам еще тогда сказал: я это не понимаю(тупой я). Я привык к расчетным формулам.

Понятно. То есть, Вы весь номер 2 не понимаете. Ну, хотите, решим сейчас вместе?

Посмотри здесь, там выложено задание, аналогичное твоему.задача по векторной алгебре — Не решается алгебра ... — Diary.ru
www.diary.ru/~eek/p136406099.htm?oam

Посмотрел. Но там нет решений, только результаты не с моими числами.

Готовая расчетная формула существует. Сначала обозначения:
[m]x=={{e}_{3}}(6,-2,4)$, а L($({{e}_{1}},{{e}_{2}})[/m], где [m]{{e}_{1}}=\overrightarrow{AB}[/m], [m]{{e}_{2}}=\overrightarrow{AC}[/m], y- ортогональная проекция х на L([m]({{e}_{1}},{{e}_{2}})[/m]. Тогда искомая матрица делает следующее:
[m]y=P{{e}_{3}}[/m]. Формула: [m]P=X{{({{X}^{T}}X)}^{-1}}{{X}^{T}}[/m], где [m]X=\left( \begin{matrix}
{{e}_{1}} \\
{{e}_{2}} \\
\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
2 & 6 \\
5 & 7 \\
4 & 4 \\
\end{matrix} \right)[/m]. Дальше вычисления. ОДНАКО ….хочется ли Вам это вычислять. Умный(инженер) в гору как …математик не пойдет. Думайте, изобретайте, …Однако такие вычисления для студента полезны.

Думаю, мои ошибки не помешают.

Считал матрицу полночи. Вот , что поучилось. Перед матрицей коэффициент 1/9 и строки 8 2 -2
2 5 4
-2 4 5
Не знаю, правилно ли? Может проверите?

Проверку сделай сам. Умножь полученную матрицу на третий базисный вектор, должен получиться вектор, третья компонента которого равна нулю — это же проекция на двумерное пространство.

Подумай теперь, как можно получить матрицу оператора без этих вычислений. Подсказка:
Пусть L-линейное подпространство. Любой вектор х однозначно представляется в виде x=y+z , где у лежит в L, z перпендикулярен L. Пусть [m]{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}}[/] — базис L. Ищем у в виде
[m]y=\sum\nolimits_{1}^{k}{{{c}_{j}}}{{a}_{j}}[/m]. Умножаем это равенство скалярно на [m]{{a}_{i}}[/m] и используем, что z перпендикулярно L, получаем систему уравнений [m]\sum\nolimits_{1}^{k}{({{a}_{i}}},{{a}_{j}}){{c}_{j}}=({{a}_{i}},x),i=1,k.[/m] Решая эту систему, находим [m]{{c}_{1}},{{c}_{2}},...,{{c}_{k}}[/m] И значит находим у. В данной задаче $[m]x=={{e}_{3}}(6,-2,4)[/], а L([m]({{e}_{1}},{{e}_{2}})[/m], где [m]{{e}_{1}}=\overrightarrow{AB}[/m], [m]{{e}_{2}}=\overrightarrow{AC}[/m].

Думаю, разберешься. Или спроси. или посмотри задачу 1369 из задачника Проскурякова.

Как искать сечение поверхности второго порядка (в 3-мерном пространстве) заданной плоскостью. Например, поверхность
x^2-4y^+9z^-36=0 , плоскость z=0.

А (0,1) В (6,4) С (3,5) составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.


КАК это сделать? Помогите, пожалуйста.