Из Гиа

Здравствуйте, помогите решить!
Условие:
прямая y-2*x+c=0 имеет две общие точки с кубической параболой y=x^3+x^2+x-7. Найти с.

Запишем эквивалентное условие. Уравнение

x^3+x^2-x-(c+7)=0

имеет ровно два корня. Тогда очевидно, что один из них второй кратности (для определенности p двукратный, q простой). Теорема Виета дает

2p + q =-1;
p^2+2pq=-1;
qp^2 =c+7.

Эта система легко решается, правда, ответы могли бы получиться и посимпатичнее.

9-классник не знает т. Виета для куб. многочлена.

Мои девятиклассники знают. А тем, кто не знает, можно ее рассказать минут за пятнадцать.

Не об этом речь: знают ваши или не знают. Речь о том, что ГИА рассчитан на обычную школьную программу без изюминок. Задачи оттуда надо решать стандартными способами. Честно говоря удивлен, что дали такую задачу на ГИА.

В первое уравнение подставляем значение y из второго.Получим: x^3+x^2-x-7+c=0, группируем x^2(x+1)-(x+7-c)=0, если вторая скобка будет (x+1), то получим (x+1)(x^2-1)=0 или (x+1)^2*(x-1)=0, т.е. 2 корня, значит, x+7-c=x+1 , 7-c=1, c=6. Теперь надо проверить есть ли другие значения c, подходящие по условию задачи. Если вторая скобка не будет равна x+1, т.е. x=-1 не будет корнем уравнения, то на выражение x+1 можно будет поделить, сначала запишем так x^2(x+1)-(x+1)-(6-c)=0 или (x+1)^2(x-1)=6-c. Теперь делим на x+1, получим: (x+1)(x-1)=(6-c)/(x+1) или x^2-1=(6-c)/(x+1). Построим графики функций f(x)=x^2-1 — график парабола с вершиной в точке (0;-1), ветви направлены вверх, f(x)=(6-c)/(x+1) — график гипербола, начало координат переходит в точку (-1;0), при 6-с>0 (c<6) расположен в 1 и 3 четверти относительно прямых x=-1 и y=0; при c<6 эти графики пересекаются только в одной точке Теперь рассмотрим с>6. Гипербола будет находиться в 2 и 4 четвертях, для левой ветви будет 1 точка пересечения с гиперболой, для правой: две (если гипербола пройдет через вершину параболы (0;-1) или выше этой точки по оси Oy — это при 6<с<=7) или ни одной (если гипербола проходит через точку ниже (0;-1)по оси Oy — это при с>7), в этих случаях общих точек у графиков 3 или 1. Т.о.условие задачи выполняется только при с=6. Ответ:6

Всегда приятно прочесть решение, с которым выступает не преподаватель Компании, а , возможно, даже школьник, тем более что в нем указан один из двух правильных ответов. Действительно, (#2), p=-1 , q=1 и с=6 (в уравнении и последней строке системы опечатка, пропущен "-" перед с)- решение, которое очень легко получить, причем многими способами.

К сожалению, дальше начинается "липа". Я готов ее опровергнуть, но мне будет приятнее, если Вы это сделаете самостоятельно (если не получится, обязательно сообщите). Скажу лишь, что второе решение системы #2 дает

p=1/3,q=5/3 и с=194/27.

Именно этот ответ я и назвал несимпатичным. Но ясно, что такое уже не подберешь.

Да, именно такое с у меня и получилось. Интересно, а что же в ответ записывать? Или это одна из "текстовых" задач, где проверяется решение?

Судя по всему, это задача №20 (или 22, в зависимости от формата) из второй части ГИА (т.е. действительно предполагается запись полного решения)

Или может быть там вопрос "впишите в ответ красивое решение для с" :)

Согласна. Вашу систему можно получить без теоремы Виета (точнее с непосредственным получением ее результата в самом примере) так:
Уравнение
x^3+x^2-x+c-7=0
имеет ровно два корня. Тогда один из них второй кратности
т.е. x^3+x^2-x+c-7=(x+a)(x+b)^2=(x+a)(x^2+2bx+b^2)=x^3+(a+2b)x^2+(2ab+b^2)x+ab^2. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x получим: a+2b=1. 2ab+b^2=-1. ab^2=c-7 (здесь корни -a и -b). Из первого уравнения выражаем a=1-2b. Подставляем во второе, решаем квадратное уравнение относительно b: 3b^2-2b-1=0. b1=1, b2=-1/3. Тогда a1=-1,a2=5/3, c из третьего уравнения ab^2+7 и с1=-1*1+7=6, с2=5/3*(1/9)+7=194/27. Ответ.с1=6, с2=194/27.

Вот еще вариант:
Две точки пересечения у прямой и кубической гиперболы могут быть только в случае касания. Наша прямая с параметром может касаться гиперболы только в двух точках (нужно приравнять производные). Ну и для этих точек посчитать значение с.
У меня получилось одно красивое (кстати, не 6, а -6) и одно что-то не особо. Но по-моему оба правомерны.

Разумеется, теорему Виета для старших степеней (которая, к слову, есть и у Галицкого, и у Виленкина, и у Дорофеева) девятиклассники не знают. Зато дифференциируют они "на ура".

А что, нет? *удивленно* :)
Поэтому мне проще заниматься со студентами :)

что вы там про т Виета, я 9 класс и я знаю её ещё с первой четверти...

Для КУБИЧЕСКОГО уравнения?

Теорема Виета для кубического уравнения изложена в задачнике Сканави № 6.142

Это Вы Владислава Игоревича просветить решили? :-)))

Нет, Владислав Игоревич, скорее всего, и без меня знает теорему Виета. А вот для демонстрации ее указанное уравнение весьма удобно. Я его показываю и рассказ о нем делается предметным и лаконичным. Я всего лишь простодушно поделился своим приемчиком, а меня уж минусами клевать начали ...

Прочитайте тему внимательно от начала и до конца :)
Владислав Игоревич — очень сильный специалист по алгебре и теории чисел, я думаю в его арсенале примеров на данную тему в десятки раз больше.
Тема не о том. Предлагается пример для 9 класса. Который надо решить методами, читаемыми в обычной школе. Теорема Виета для кубического уравнения — не входит в программу общеобразовательной школы, на которую и рассчитан экзамен ГИА.

"Универсальный справочник по математике школьникам и абитуриентам" А.А. Прокофьев, И.Б. Кожухов. Вывод теоремы Виета для многочлена произвольной степени.
Учить надо-где найти то, чего не знаешь, не знаниям а умению.

Проблема этой задачи в том, что неочевидно что искать. Если ученик знает, что бывает теорема Виета для кубического уравнения — он ее и сам может вывести, это не слишком сложно. А вот если не знает — не может и поискать.

Я вот попробовал поискать в яндексе, что известно про четырехугольники одновременно вписанные и описанные. Ничего интересного не нашел. Чтобы правильно задать вопрос, надо знать большую часть ответа.

Абсолютно согласен с Игорем Владимировичем! Мои девятиклассники тоже знают! Довольно много из того, чего "мы не проходили". Я уже пережил период обалдения от того, " что такую задачу дали на экзамене". Беру, да и объясняю, как ее делать. И, простите, не заморачиваюсь критерием "входит-не входит в программу общеобразовательной школы", а рассказываю то, что считаю необходимым для решения задачи. И уж, конечно, показал теорему Виета для кубического уравнения. А практика показывает, что ребята с таким багажом на экзамене чувствуют себя уверенно.

Понимаете, если я буду перечислять, что знают наши матцентровские девятиклассники, все будет еще круче. В конце концов, иногда они уже в 9 классе ездят на международные олимпиады. Но это не повод задачи с межнаров ставить в экзамен для всех.

Разумеется, не нужно и специально лишать продвинутых детей их преимуществ (тем более, что это очень трудно). Если у задачи есть решение с нестандартной техникой это не портит задачу (читал я в прошлом году на ЕГЭ какой-то сумасшедший счет теоремой Менелая...). Но должно при этом быть и нормальное. Причем такое, которое реально можно придумать на месте. Вот для этой задачи такого пока никто не привел.

Мне почему-то представляется, что не стоит "искать черного бультерьера в черной комнате, зная, что он там есть". Хотя в таких ситуациях я никогда не говорю "никогда". Возможно, и существует какое-то изысканное решение, не ссылающееся на теорему Виета ни прямо, ни косвенно. Возможно, какой-нибудь вдумчивый ребенок сможет увидеть его "за доской". Основной вопрос здесь "А зачем ?". Зачем прятать от детей полезные инструменты, заставляя их работать вручную ? Наверное, и шуруп можно завинтить в стену голыми руками. Но отверткой удобнее.

Это задание, если оно действительно из ГИА, откровенно "лакмусовое". При решении его дети, которые либо либо учатся в ФМЛ, либо посещали хоть какой-нибудь кружок, либо занимались с хорошим репетитором, получают явное преимущество. Нужны ли такие задачи ? По-моему, скорее да. Но это мое субъективное мнение.

И последнее. Вспоминается книга Черкасова и Якушева с параграфом "Чему в школе не учат, а знать надо". Пора обновлять это параграф с учетом новых веяний в ГИА.

>> Зачем прятать от детей полезные инструменты, заставляя их работать вручную?

Если бы в этой теме речь шла о том, какие темы включать в программу, а какие не включать, — этот тезис был бы вполне уместен.
Но здесь мы, насколько я понимаю, говорим не о возможности решить задачу лучшим, чем школьный, методом — а о невозможности решить её школьным методом. (Если кто-нибудь подаст в суд на составителей заданий — я буду мысленно на стороне истца.)

А мне кажется, что речь идет о том, какой метод называть "школьным", а какой — нет. Дело в том, что сейчас (например, в известных мне школах Петербурга) количество часов математики в неделю варьируется от 4 до 11, при этом во многих из них имеются математические факультативы : где — сугубо добровольные, а где и добровольно-принудительные. Различных учебников математики, которые в 9 классе используются учителями — не менее полудюжины.

Естественно, что в такой ситуации сколько школ — столько и программ. Апеллировать к тому, что есть и чего нет в учебнике Алимова, странно, так как это всего лишь один из учебников, пусть и самый распространенный. Поэтому право составителей вариантов ГИА — выбирать тестовый материал сообразно любому из них. Причем "последние" задания вполне могут корреспондироваться и с учебниками для ФМЛ. Следовательно, в случае, если описываемый Вами суд состоится, мы оба будем иметь смех на истцов.

И (снова) последнее. Много раз мне приходилось слышать тезис о том, что тесты ЕГЭ и ГИА должны выявлять не самых обученных и техничных учеников, а самых способных. Это тезис не только лукавый, но и порочный. Все дети с выраженными способностями (и не только у нас в городе) очень быстро "попадают в сети" руководителей математических кружков и становятся хорошо выученными. Дети со способностями выше среднего поступают в ФМЛ, где за их образованием также неплохо следят. Лично я приветствую наличие заданий, которые гарантируют таким детям преимущество перед остальными. В конце концов, они заслужили это преимущество непростым трудом в течение 3-5 лет.

Скажите, пожалуйста, если это задача с полным решением, можно ли её решать графически? В конце концов графический метод решения раньше входил в программу (сейчас не знаю как).

Альбина Геннадьевна, графический метод входит и будет входить в программу. Но получить графическим методом точное (а не приближённое) решение можно только если очень повезёт. Тем более для уравнения с параметром роль графического представления уравнений — скорее эвристическая.

Здравствуйте!

Дочери нужна подготовка к ГИА по алгебре и геометрии..

Какого преподавателя искать школьного или из вуза и в каком режиме надо заниматься?

Углы при одном из оснований трапеции равны 44 и 46 градусов, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 44 см и 46 см. Найдите основания трапеции.

Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника АВК и площади четырехугольника КРСМ.
Помогите, пожалуйста, даже не знаю с чего начать :-(.
Может в Инете уже где-то есть разбор этих задач?

расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 10, а боковые стороны равны 12 и 16. найти расстояние между точкой пересечения диагоналей трапеции и серединой большего основания, если основания относятся как 1:4

Вот попалась задачка из Гиа второй части, решить не могу, подходила к учителю, она сказала подумает, а я хочу сейчас решить.
Условие:
При каком значении параметра a, уравнение у=х^2+2a|x|-a^2 не имеет общих точек с прямой у=а-6 ?
Подскажите с чего начать? (Заранее спасибо)

В одном из вариантов ГИА попалась такая задача: "При каких значениях p прямая y=0,3x+p образует с осями координат прямоугольник, площадь которого равна 60 кв.ед.?"
После всех попыток решить эту задачу дальше того, что |xy|=120 (где х — абсцисса точки пересечения данной прямой с осью абсцисс, а y — абсцисса точки пересечения прямой с осью ординат). Туда ли я "пошел" в решении? Если да, то какой может быть следующий шаг?
Спасибо!
Илья, ученик 9 класса.