👍 +1 👎 |
ГИА геометрия. Пожалуйста объясните решениерасстояние между серединами диагоналей трапеции равно 10, а боковые стороны равны 12 и 16. найти расстояние между точкой пересечения диагоналей трапеции и серединой большего основания, если основания относятся как 1:4
ОГЭ по математике геометрия математика обучение
Tasha
|
👍 +2 👎 |
1. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей, является частью средней линии трапеции и равен полуразности оснований.
2. Составьте систему уравнений относительно неизвестных оснований и найдите их. 3. Пусть AB=12, CD-16. Из вершины B проведите BK || CD (K лежит на AD). Найдите AK. 4. Из вершины B проведите на нижнее основание отрезок, параллельный искомому, и докажите, что он — медиана треугольника ABK. Найдите его из соотношения между медианами и сторонами треугольника. 5. Продолжите искомый (исходный) отрезок до пересечения с верхним основанием. Заметьте, что треугольники, образованные участками диагоналей и каждым основанием, подобны. Найдите коэффициент подобия и долю, которую искомый отрезок составляет от заключённого между основаниями (а последний равен найденной медиане). |
👍 +1 👎 |
Это, что называется, блиц-решение, первое, что пришло в голову. Если Вы или кто-нибудь ещё найдёт более компактное решение, опубликуйте, пожалуйста, буду очень признателен.
|
👍 +4 👎 |
Пусть трапеция ABCD, AD — большее основание, точка пересечения диагоналей O, AB=12, CD=16, середины диагоналей BD и AC — E, F, середина AD — G
Приведу два решения — одно хитроватое, второе — попроще, третье — тупое. 1) AD и EF параллельны, значит OEF подобен OAD с коэффициентом подобия 3\8. GE=6, GF=8, EF=10, значит GEF — прямоугольный. При этом OG — его медиана в силу параллельности EF и AD, откуда OK = 5, где K — точка пересечения OG и EF. Но из подобия (OG-OK)/OG = 1-5/OG = 3/8 Отсюда OG=8. 2) BOC, OAD и FOE подобны. При этом BO=1/4 OD= 1/5 BD, CO=1/5 AC, OE=AC/2-CO = AC/2-AC/5= 3AC/10. То есть AD = EF*OA/OE = 80/3, BC = 20/3. Продлим AB, CD до пересечения в точке K. Из подобия BKC и AКD имеем KB/AK=1/4, откуда AK=4KB, AK-KB = 3KB = 12. KB=4, AK=16. Аналогично DK=16/3*4=64/3. По теореме Чевы KO — медиана, а поскольку треугольник KAD — прямоугольный, то она равна 40/3. То есть KG=40/3, откуда из того, что KG делится точками O и точкой P пересечения KG и BC в отношениях KP/PG=1/3, PO/OG = PG/OG-1=1/4, OG=4/5*3/4*40/3=8. 3) После нахождения оснований можно было ничего не проводить дополнительного, а гнуть свою линию — искать высоту, затем диагонали, а потом сводить задачу к поиску медианы в треугольнике с известными сторонами |
👍 0 👎 |
Огромное спасибо.. с первым способом разобралась, а вот о теореме ЧЕВЫ даже не слышала никогда..
|
👍 0 👎 |
Почитайте, полезная штука. Википедия, например, поможет.
|
👍 0 👎 |
Чтобы осознать себе откуда она берется полезно представить себе, что в вершины A,B,C треугольника поставлены массы a, b, c. Тогда центр масс всей системы будет центром масс вершины C и центром масс системы (А,B). Центр масс системы A, B будет в точке С1 на отрезке AB, где AC1*a=BC1*b. Значит центр масс всей системы на отрезке С1С.
Поэтому если я возьму треугольник ABC и возьму точки C1, B1, A1 на сторонах AB, AC, BC так, что AC1/C1B = a1/b1, BA1/A1C = a2/b2, CB1/B1A = a3/b3, то если поставить в вершину A массу 1, в вершину B — массу a1/b1, в вершину С — массу (a1/b1)*(a2/b2), то центр масс отрезка AB будет в точке C1, а центр масс BC — в точке A1, откуда центр масс всего треугольника будет лежать на CC1 и на AA1, то есть в точке их пересечения. При этом центр масс AC будет лежать в точке B2, такой что CB2/AB2 = (b2b1)/(a2a1). Т.к. центр масс лежит на отрезке BB2, то AA1, BB2, СС1 проходят через одну точку. Значит BB1 будет проходит через одну точку с AA1, CC1 тогда и только тогда, когда B1=B2 |
👍 +4 👎 |
Теорема Чевы
Столько фактов вокруг, о которых не слышали даже, За наукой порою уже не угнаться, увы... Теорему Чевы каждый школьник сегодня докажет, А слабо самому сочинить теорему Чевы? Из вершин треугольника тройку отрезков волшебных Через общую точку на стороны мы проведём. При обходе периметра следует попеременно Умножать и делить на кусочки разбитых сторон. Результат этих действий заставит народ удивиться, Потому что в итоге выходит всегда единица. ------------------ Джованни Чева (1648-1734) — итальянский математик. Доказал эту теорему в 1678 г. |
👍 0 👎 |
ГИА 2013, №26, в. 1310
|
👍 0 👎 |
ГИА 2013, №26, в.ё1301
|
👍 0 👎 |
Найти расстояние в треугольнике
|
👍 0 👎 |
Геометрия
|
👍 0 👎 |
В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 120 градусов
|
👍 0 👎 |
Задача по геометрии
|