СПРОСИ ПРОФИ
👍
+1
👎 19

ГИА геометрия. Пожалуйста объясните решение

расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 10, а боковые стороны равны 12 и 16. найти расстояние между точкой пересечения диагоналей трапеции и серединой большего основания, если основания относятся как 1:4
ОГЭ по математике геометрия математика обучение     #1   28 фев 2012 11:57   Увидели: 25 клиентов, 4 специалиста   Ответить
👍
+2
👎 2
1. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей, является частью средней линии трапеции и равен полуразности оснований.
2. Составьте систему уравнений относительно неизвестных оснований и найдите их.
3. Пусть AB=12, CD-16. Из вершины B проведите BK || CD (K лежит на AD). Найдите AK.
4. Из вершины B проведите на нижнее основание отрезок, параллельный искомому, и докажите, что он — медиана треугольника ABK. Найдите его из соотношения между медианами и сторонами треугольника.
5. Продолжите искомый (исходный) отрезок до пересечения с верхним основанием. Заметьте, что треугольники, образованные участками диагоналей и каждым основанием, подобны. Найдите коэффициент подобия и долю, которую искомый отрезок составляет от заключённого между основаниями (а последний равен найденной медиане).
👍
0
👎 0
спасибо.. весьма сложно((
  #3   28 фев 2012 11:54   Ответить
👍
+1
👎 1
Это, что называется, блиц-решение, первое, что пришло в голову. Если Вы или кто-нибудь ещё найдёт более компактное решение, опубликуйте, пожалуйста, буду очень признателен.
👍
+4
👎 4
Пусть трапеция ABCD, AD — большее основание, точка пересечения диагоналей O, AB=12, CD=16, середины диагоналей BD и AC — E, F, середина AD — G
Приведу два решения — одно хитроватое, второе — попроще, третье — тупое.
1) AD и EF параллельны, значит OEF подобен OAD с коэффициентом подобия 3\8.
GE=6, GF=8, EF=10, значит GEF — прямоугольный. При этом OG — его медиана в силу параллельности EF и AD, откуда OK = 5, где K — точка пересечения OG и EF. Но из подобия
(OG-OK)/OG = 1-5/OG = 3/8
Отсюда OG=8.
2) BOC, OAD и FOE подобны. При этом BO=1/4 OD= 1/5 BD, CO=1/5 AC, OE=AC/2-CO = AC/2-AC/5= 3AC/10.
То есть AD = EF*OA/OE = 80/3, BC = 20/3. Продлим AB, CD до пересечения в точке K. Из подобия BKC и AКD имеем KB/AK=1/4, откуда AK=4KB, AK-KB = 3KB = 12. KB=4, AK=16.
Аналогично DK=16/3*4=64/3.
По теореме Чевы KO — медиана, а поскольку треугольник KAD — прямоугольный, то она равна 40/3. То есть KG=40/3, откуда из того, что KG делится точками O и точкой P пересечения KG и BC в отношениях KP/PG=1/3, PO/OG = PG/OG-1=1/4, OG=4/5*3/4*40/3=8.
3) После нахождения оснований можно было ничего не проводить дополнительного, а гнуть свою линию — искать высоту, затем диагонали, а потом сводить задачу к поиску медианы в треугольнике с известными сторонами
👍
0
👎 0
Огромное спасибо.. с первым способом разобралась, а вот о теореме ЧЕВЫ даже не слышала никогда..
  #6   28 фев 2012 12:17   Ответить
👍
0
👎 0
Почитайте, полезная штука. Википедия, например, поможет.
👍
+1
👎 1
уже читаю))
  #8   28 фев 2012 13:27   Ответить
👍
0
👎 0
Чтобы осознать себе откуда она берется полезно представить себе, что в вершины A,B,C треугольника поставлены массы a, b, c. Тогда центр масс всей системы будет центром масс вершины C и центром масс системы (А,B). Центр масс системы A, B будет в точке С1 на отрезке AB, где AC1*a=BC1*b. Значит центр масс всей системы на отрезке С1С.

Поэтому если я возьму треугольник ABC и возьму точки C1, B1, A1 на сторонах AB, AC, BC так, что AC1/C1B = a1/b1, BA1/A1C = a2/b2, CB1/B1A = a3/b3, то если поставить в вершину A массу 1, в вершину B — массу a1/b1, в вершину С — массу (a1/b1)*(a2/b2), то центр масс отрезка AB будет в точке C1, а центр масс BC — в точке A1, откуда центр масс всего треугольника будет лежать на CC1 и на AA1, то есть в точке их пересечения. При этом центр масс AC будет лежать в точке B2, такой что CB2/AB2 = (b2b1)/(a2a1). Т.к. центр масс лежит на отрезке BB2, то AA1, BB2, СС1 проходят через одну точку. Значит BB1 будет проходит через одну точку с AA1, CC1 тогда и только тогда, когда B1=B2
👍
+4
👎 4
Теорема Чевы

Столько фактов вокруг, о которых не слышали даже,
За наукой порою уже не угнаться, увы...
Теорему Чевы каждый школьник сегодня докажет,
А слабо самому сочинить теорему Чевы?

Из вершин треугольника тройку отрезков волшебных
Через общую точку на стороны мы проведём.
При обходе периметра следует попеременно
Умножать и делить на кусочки разбитых сторон.

Результат этих действий заставит народ удивиться,
Потому что в итоге выходит всегда единица.


------------------
Джованни Чева (1648-1734) — итальянский математик. Доказал эту теорему в 1678 г.

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 01

ГИА 2013, №26, в. 1310   1 ответ

Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР. Радиус окружности, вписанной в тругольник АСР, равен 12 см, тангенс угла АВС равен 2,4. Найдите радиус вписанной окружности треугольника АВС.
  09 июл 2013 10:48  
👍
0
👎 02

ГИА 2013, №26, в.ё1301   2 ответа

Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника АВК и площади четырехугольника КРСМ.
Помогите, пожалуйста, даже не знаю с чего начать :-(.
Может в Инете уже где-то есть разбор этих задач?
  08 июл 2013 10:01  
👍
0
👎 07

Найти расстояние в треугольнике   7 ответов

Расстояние между серединами лиагоналей АС и BD 4-угольника ABCD равно 3. Чему равно расстояние между серединами сторон AD и BC, если АВ=16, СВ=10. Не получается решить.
  01 мар 2013 11:15  
👍
0
👎 01

Геометрия   1 ответ

В трапеции АВСД дано СД=ВС=АВ=а,ДА=2а.На прямых АВ и СД взяты точки Е и F, отличные от вершин трапеции, так что точка пересечения высот треугольника СEF, совпадает с точкой пересечения диагоналей трапеции АВСД. Найдите площадьтреугольника СEF.
👍
0
👎 01

В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 120 градусов   1 ответ

напишите решение пожалуйста
в правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 120 градусов. Отрезок соединяющий основание высоты пирамиды с серединой бокового ребра равен 3 см. Найти S полное поверхности пирамиды?

  14 май 2012 22:09  
👍
0
👎 01

Задача по геометрии   1 ответ

1) длины стороны прямоугольника 8 и 6 см.через точку O пересечения диагоналей проведен перпендикуляр Ok перпендикулярный ABCD, ok =12 см. найти растояние от точки K до вершины прямоугольника?

2) Длины сторон треугольника ABC равны BC=15,AB=13,AC=4.Через сторону AC проведена плоскость альфа
составляющее с альфа данного треугольника угол 30градусов.Найти расстояние от вершины B до плоскости альфа?

  02 фев 2011 15:06  
ASK.PROFI.RU © 2020-2022