Итоговая работа 10 класс

Заполните вместо (), чтобы получилась лучшая оценка, которую можно получить при таком решении.

Задача. По кругу стоят 16 натуральных чисел, сумма которых равна 93. Нужно оценить снизу значение k такое, что всегда можно выбрать пять подряд идущих чисел, сумма которых не менее k.

Решение. Рассмотрим все пятёрки подряд идущих чисел. Всего таких пятёрок (). Пронумеруем пятёрки, для всех i обозначим через Si сумму чисел i-й пятёрки.

Рассмотрим сумму S1+S2+…, посчитаем её другим способом. Заметим, что каждое из исходных 16 чисел входит в () пятёрок. Поэтому
S1+S2+…= ().
Следовательно, найдётся Si, которое не меньше, чем ().

Всего таких пятёрок 16
Каждое из исходных чисел входит в 5 пятёрок
S1 + S2 + … = 465
Найдётся Si, которое не меньше, чем 29

Заполните пропуски так, чтобы получилась лучшая оценка, которую можно получить при таком решении.

Задача. В школе учатся 100 учеников, каждый из них знаком не менее чем с 67 другими. Нужно оценить снизу значение k, при котором можно утверждать, что найдутся k человек, которые имеют одинаковое количество знакомых.

Решение. Количество знакомств у одного ученика может принимать значения от () до (), то есть всего вариантов значений (). Поэтому по принципу Дирихле у каких-то () из них будет одинаковое количество знакомых.


Вставить вместо () числа.

Придумайте восьмизначное натуральное число, в котором есть хотя бы одна тройка, хотя бы одна пятёрка и хотя бы одна семёрка, такое, что при вычёркивании всех троек остаётся число, делящееся на 13; при вычёркивании всех пятёрок остаётся число, делящееся на 11; при вычёркивании всех семёрок остаётся число, делящееся на 7.