Геометрия, Погорелов, 4-Й параграф, упр.19

Условие задачи: стороны треугольника относятся друг к другу как 1:2:3(или 3:4:5, не важно), необходимо найти углы треугольника.

1. Можно ли решить подобную задачу, не прибегая к теореме синусов? Если да, то как?
2. Вообще возможно ли построить треугольник с соотношением сторон 1:2:3? Не противоречит ли это основному неравенству треугольника?
3. Является ли подразумеваемое решение (принять пропорцию для сторон верной также и для углов) верным? Если да, пожалуйста, дайте ссылку на теоретический материал.
4. Если на предыдущие вопросы Вы ответили "нет", то как подобный номер попал в самое начало учебника по геометрии?

п. 0. Олег Геннадьевич, скорее всего, Вы превышаете уровень общности.
п. 1. В общем случае используется теорема косинусов.
п. 2. Вы правы. Противоречит. Попробуйте начертить отрезок длиной 3 см, затем построить окружности с центрами в его концах и радиусами 1см и 2 см.
п. 3. Нет, конечно. Стороны пропорциональны не самим углам, а их синусам. Это и есть содержание теоремы синусов.
п. 4. Подобный номер попал в учебник совершенно естественно. Его предложил автор. Но Вы невнимательно прочитали условие задачи (если мы говорим об одной и той же задаче). Там речь идёт о пропорциональности самих углов, а не сторон. Достаточно вспомнить, чему равна сумма углов треугольника :)

Такой вопрос: почему теорема называется теоремой косинусОВ, если в ее условии фигурирует только один косинус?
Или имеется в виду, что ее можно сформулировать для косинуса каждого из углов?
...для разных треугольников и их углов с их косинусами?

Так или иначе, мне кажется, правильнее было бы называть ее "теорема косинуса" :)

... имеется в виду, что ее можно сформулировать для косинуса каждого из углов?...

Думаю, да.
Но если уж цепляться к названиям школьных теорем, то начинать надо не с теоремы косинусов. Скажем, в упомянутой теореме синусов чисто формально нет уравнения, в которое входили бы все три синуса сразу (есть система, записываемая в одну строку).
Лично у меня больше претензий к "теореме о трёх перпендикулярах" :)
Желающие могут продолжить список :)

Обозначим углы треугольника как 3x, 4x, 5x. Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Составляем уравнение и решаем, находим x, затем углы треугольника.

Синусы углов скорее так обозначим....

Углы, образуемыее стороной ромба и его диагоналями относятся между собой как 7:2. Найдите Д большой угол ромба. Ответ дайте в градусах?

диагональ параллелограмма равна его стороне. найдите площадь параллелограмма если одна из его сторон равна 14см, а один из углов равен 60 градусов. Синусы и косинусы не проходили, 8 класс, возможно по теореме пифагора или по площади параллелограмма , я не знаю как, помогите срочно, пож!

Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.
У нас конкурс на самое лучшее решение этой задачи.

В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб с острым углом 60 градусов. Высота пирамиды проектируется в вершину острого угла основания. Найдите большую диагональ основания пирамиды, если ее наклонные ребра равны (кв. корень из 19) и 5.

Из двух одинаковых равнобедренных треугольников ( периметр каждого треугольника равен х)сложили два четырехугольнкиа, прикладывая треугольники друг к другу: а) основаниями, б) боковыми сторонами. Периметры четырехугольника равны (х+4) и (х+8). Найдите х.