Если множество Е на плоскости несчётно, то найдётся такой круг с центром в начале координат, который содержит несчётное множество точек из Е

доказать, что если множество Е на плоскости несчетно, то найдется такой круг с центром в начале координат, который содержит несчетное множество точек из Е.(плиз решение)

Пусть такового круга нет. Обозначим круг радиуса [m]n\in\mathbb{N}[/m] с центром в нуле координат как [m]B_n[/m]. Тогда все множества [m]E\cap B_n[/m] не более чем счетны, значит объединение [m]M=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E\cap B_n[/m] не более чем счетно (счетное объединение счетных множеств счетно). С другой стороны, должно быть понятно, что:

[m]M=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}E\cap B_n = E\cap\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n = E\cap\mathbb{R}^2=E.[/m]

Т.е. мы получили, что [m]E[/m] не более чем счетно. Противоречие.

Ну, и повеселее.

Доказать, что для любого натурального [m]n[/m] найдется число, составленное из цифр [m]1[/m] и [m]2[/m], делящееся на [m]{2}^{n}[/m].

Множество на плоскости, состоящее из конечного числа точек обладает следующим свойством: для любых двух точек A и B
множества найдется точка C множества такая, что треугольник ABC равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?

Внутри круга расположены 200 точек. Надо доказать, что можно провести прямую, которая пересекает круг и делит его на две части так, что при этом в каждой части круга лежит ровно по 100 отмеченных точек.

Найти количество точек в плоскости Oxy с целыми координатами, которые расположены внутри области, ограниченной осями координат и графиком функции [m]y=-x^3+30x^2-300,6x+2012[/m].

Добрый день, пожалуйста, скажите в каком направлении думать при решении этих задач:

Задача 1:
Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [2,5] и дифференцируема всюду внутри отрезка. При этом f(2)=-2, f(5)=7.
Обязательно ли в интервале (5,2) найдется точка c, такая, что производная в этой точке равна
а) 2
б) 3

Надо, наверное, какой-то теоремой воспользоваться? )

Задача 2:
Вычислите, используя определение производной и не пользуясь теоремой о производной сложной функции, производную функции f(x)=ln(2x-3)

Как-то через предел?

Заранее всем спасибо )