Множество на плоскости, состоящее из конечного числа точек обладает следующим

Множество на плоскости, состоящее из конечного числа точек обладает следующим свойством: для любых двух точек A и B
множества найдется точка C множества такая, что треугольник ABC равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?

Какое наибольшее число точек можно разместить
а) на плоскости;
б) в пространстве,
так, чтобы ни одни из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным?

Для разминки.
1.В прямоугольном треугольнике ABC из вершины С прямого угла, проведена высота CD. Точка D находится на расстоянии m и n от катетов АС и ВС соответственно.Найти катеты.
2.Найти стороны прямоугольного треугольника по данным периметру 2p и высоте, проведенной к гипотенузе, h.
3.Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на 2 треугольника с площадями q и Q.Найти катеты.

Ну, и повеселее.

Доказать, что для любого натурального [m]n[/m] найдется число, составленное из цифр [m]1[/m] и [m]2[/m], делящееся на [m]{2}^{n}[/m].

"В множестве E, состоящем из n элементов, выделены m различных подмножеств
(отличных от самого E) так, что для любых двух элементов множества E существует
единственное выделенное подмножество, содержащее оба элемента. Докажите неравенство [m]m \geq n[/m]. В каких случаях возможно равенство?
Н.Бурбаки."

"Удивительный цветок распустился посреди круглого пруда радиусом в 10 метров. Каждый день цветок удваивает свой диаметр и на 20-й день закрывает весь пруд. На какой день он закроет половину пруда?
(ну, это шутка...посмотрим что в Квантах)

"Дан отрезок AB. Найдите множество таких точек C плоскости, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, равна высоте, проведённой из вершины B."
( Квант, 1970г. — выписывайте Квант!)