Доказать, что последовательность 2^n - 3…

Доказать, что последовательность
[m]{2}^{n} — 3[/m] , [m]n = 2, 3, 4, ...[/m]
содержит бесконечное множество чисел. каждые два из которых взаимно просты.

Это же неправда

Не знаю, не знаю.
А как Вы доказываете, что это неправда?

Так в этой последовательности каждое четвертое число заканчивается на пять!

А вдруг из бесконечной последовательности можно выделить бесконечную подпоследовательность. :)

Анастасия Владимировна!
А ведь Вы правы.
Полная неожиданность.
Последовательность — действительно бесконечное множество чисел (по определению самой последовательности, доказывать не надо), и в последовательности действительно есть два числа не взаимно простых друг с другом, например, при [m]n = 3[/m] и [m]n = 7[/m].
Так что, если Вы не против, простим автору неточность формулировки (перепечатал не проверяя) и переформулируем задачу:

Доказать, что множество чисел, составляющее последовательность
[m]{2}^{n} — 3[/m] , [m]n = 2, 3, 4, ...[/m]
содержит бесконечное подмножество чисел, каждые два из которых взаимно просты.

Вы ошибаетесь. Наличие даже бесконечного числа попарно не взаимно простых членов не исключает наличие бесконечного числа попарно взаимно простых.
Так, например, бесконечная последовательность натуральных чисел содержит бесконечное множество попарно взаимно простых.
Собственно, чтобы это понять достаточно было задуматься над #1277.

В предлагаемой шифровке значками зашифрованы цифры и знаки +, -, =. Каждая строчка шифровки содержит запись одного из арифметических действий типа: 25 +184 = 209 или 2568 = 2573 — 5.
Попробуйте определить, какой цифре или знаку соответствует каждый из значков.

Дана последовательность: 1,1,2,3,7,22... Каждый член равен произведению предыдущих двух плюс 1. Доказать, что ни один член последовательности не делится на 4."
(8-й класс, 1965г.)

Некоторые задачи поражают некоторой несуразностью.
Тем не менее, часто бывает, что в таких задачах есть что-то интересное, и даже очень интересное.
Что ж, задачи не выбирают.

Морская вода содержит 5% соли (по весу). Сколько килограммов пресной воды нужно прибавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в смеси составляло 2%?

Найти ближайший после 12 часов момент времени, при котором стрелки часов взаимно перпендикулярны.

На одной трамвайной линии составы отправляются регулярно каждые 10 мин в течение
всего дня. Трамвай проходит линию из конца в конец за один час. Пассажир садится в вагой на
одной конечной остановке и едет до последней остановки трамвая; от нечего делать он
смотрит в окно и считает встречные трамваи того же маршрута. Сколько же трамвайных
составов он при этом насчитает.