Ян Дененберг

Назовём цифру хорошей, если она не является первой или последней цифрой числа и равна модулю разности двух своих соседей.

1. Каково наибольшее возможное количество хороших цифр?

2. Найдите все натуральные числа, в которых достигается это наибольшее количество.

Для исходной задачи у меня получились ровно четыре числа:

314597268,

862795413,

3145972680,

8627954130.

Причём по существу…

1) Сколько грязнуль учится в Васином классе?

2) Какие отметки по поведению получили Беседин и Цыганков?

3) Сколько котов жили в подвале?

4) Сколько секунд ветер дул боцману в лицо?

5) Сколько фотоаппаратов на витрине увидел Забывалка?

6) Сколько детей в семье Ивановых?

7) Скольким крокодилам удалось в Пятигорске сбежать из цирка?

8) Сколько листьев оказалось на земле, когда начался листопад?

Попробуйте…

Набор из 100 натуральных чисел обладает тем свойством, что каждое из этих чисел является делителем суммы остальных 99 чисел этого набора. Могут ли все эти числа быть попарно различными?

Моё решение.

Возьмём числа 1, 2, 3, а каждое следующее число будем брать равным сумме всех предыдущих. Получим:

1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, ...

Остановимся, когда чисел станет 100.

Сумма первых трёх чисел равна 6 и делится на…

Рассмотрим такую последовательность.

Для каждого натурального n найдём наибольшее n-значное простое число, удовлетворяющее двум условиям:

Каждая его цифра является простым числом, то есть принадлежит множеству {2, 3, 5, 7}.
Сумма его цифр также является простым числом.

Первые 14 членов:

7, 23, 773, 7727, 77773, 777277, 7777753,
77777327, 777777773, 7777777327, 77777777573,
777777777727, 7777777777333,…