Задача про цистерну, из которой вытекает жидкость

Над этой задачей я думаю уже около 40 лет.
Обсуждал со специалистами — разумного ответа не добился.
Всё собирался написать об этой задаче на (закрытом)
форуме "Вашего репетитора", но не успел.
Теперь появился открытый форум, а на открытом форуме
появились участники, которые:
а) хорошо разбираются в физике,
б) которым тоже, наверное, интересно было бы принять
участие в обсуждении.

На железнодорожных рельсах стоит цистерна с жидкостью.
Внизу имеется кран, через который жидкость может
вытекать вертикально вниз. (Торчит кусок трубы, направленный
вертикально вниз.) Но этот кран с трубой расположены
не посередине цистерны, а ближе к правому торцу цистерны.
Кран открывают. Что будет происходить с цистерной?
Трение отсутствует.

А какая жидкость в цистерне? Уж не запасное ли топливо для космонавтов на орбите? )))

А Вам не приходилось работать на космических кораблях-шпионах?

А вращением Земли можно пренебречь? А то не очень хочется учитывать изменение положения центра масс системы из-за того, что струя смещается к востоку :))

На время проведения эксперимента мы остановим вращение Земного шара.
Уточняю вопрос задачи. Каково будет поведение цистерны в абсолютно
инерциальной системе отсчёта? Силу тяжести выключать не будем.

Возможно, здесь какой-то ехидный подвох, но я его пока не чувствую. Из теоремы о движении центра масс системы в данном случае следует, что его горизонтальная координата постоянна. Поэтому жидкость — направо, цистерна — налево. Из-за несимметрии поля скоростей
жидкости её давление на левый торец цистерны больше, чем на правый.

Хорошо. Итак, кран открывают, цистерна начинает двигаться налево.
Первое время, видимо, ускоренно. (Иначе как же она разовьёт хоть
какую-то скорость?)
До каких пор цистерна будет двигаться ускоренно?
Наступит ли момент, когда она станет двигаться с постоянной скоростью?
Будет ли она двигаться с постоянной скоростью бесконечно?
Или, может быть, когда вся жидкость вытечет, цистерна остановится?

Одним словом, нельзя ли описать движение цистерны более подробно?
(Не только в первые секунды движения.)

Движение цистерны описывается целиком и полностью, например, с помощью указанного выше подхода — написать уравнение для координаты центра масс, как функции положения цистерны x и времени t (считая для простоты скорость вытекания жидкости из крана V константой).
Масса цистерны: M(t)=M0–Vt
Масса вытекшей воды: m(t)=Vt
Координата вытекшей воды: y=L=const
Центр масс: М(t)*x–m(t)*y=0
(M0–Vt)*x–VtL=0
x=VtL/(M0–Vt)

А почему координата вытекшей воды — константа?
И почему в формуле для центра масс стоит знак минус?

После начала движения координата вытекшей воды не константа. Я не очень внимательно прочитал ваш вопрос, написанное в #9 относится к тому, как цистерна начнёт двигаться. Описание дальнейшего движения, во-первых, нельзя сделать в рамках "школьной физики", а во-вторых, требует существенного уточнения условий задачи, в первую очередь, установления вида зависимости скорости вытекания воды от времени V(t).

Плюс или минус в ЦМ зависит от того, какой смысл мы придаём x: если минус — смысл пройденного расстояния, а если плюс — координаты. Но лучше, действительно, везде координаты, чтобы путаницы не было.

Давайте сначала уточним, как понимать слова "трение отсутствует" в условии задачи. Я вижу два возможных варианта.

Первый, более простой, но менее естественный. Трение отсутствует совсем. Тогда колёса играют декоративную роль и перемещаются вместе с цистерной поступательно (цистерна стоит на идеально гладком льду). Именно этот вариант я подсознательно имел в виду, когда писал о постоянстве горизонтальной координаты центра масс системы "цистерна+вода", поскольку в этом случае внешних горизонтальных сил нет.

Второй, более естественный, но менее простой. Колёса крутятся без проскальзывания. Если движение цистерны ускоренное, то у колеса должно быть угловое ускорение, которое может быть обеспечено только моментом действующих на него сил. (Если опять же не впадать в маразм и не считать колесо безмассовым. Но тогда снова получается первый вариант.) Единственная сила, имеющая ненулевое плечо относительно центра колеса, — сила трения покоя, действующая в точке контакта колеса и рельса и направленная горизонтально. Тогда нельзя утверждать, что [m]x_C=const[/m], а в условии — писать, что трение отсутствует.

Будем обсуждать один из этих вариантов или предложите что-то третье?

Сначала бы разобраться с более простым, первым вариантом.
Трение отсутствует совсем — идеально гладкий лёд.

Юрий Анатольевич, если бы Вы предложили эту задачу в момент её появления, у меня было бы больше времени на подумать. Пока же вот какие соображения.
Если цистерна движется, то вытекающая вода должна иметь составляющую скорости в том же направлении. (И будет её сохранять, если нет трения). Т.е. суммарный импульс изолированной системы уже не равен нулю. Откуда бы ему взяться? Ведь всяческие давления – это внутренние разборки воды и цистерны.
Мне кажется, что цистерна стоит в луже на том же месте, что и 40 лет назад.

"...эту задачу в момент её появления..." — какой
момент имеется в виду: момент появления этой задачи в
моём сознании или в окружающем пространстве?

"...у меня было бы больше времени на подумать..."
Так я не тороплю. Вы подумайте, пожалуйста.

"...вытекающая вода должна иметь составляющую скорости
в том же направлении..." Хорошо — это про вытекающую воду
(про ту воду, которая уже успела вытечь).
А что можно сказать про воду, которая ещё не успела вытечь?
Про её импульс? Ведь там очень сложное распределение скоростей.
"Из-за несимметрии поля скоростей..." (Сухоручкин Дмитрий Андреевич, #7)

В Вашем сознании, конечно: «Над этой задачей я думаю уже около 40 лет». Когда она появилась в окружающем пространстве, я не знаю, мне стала известна вчера, за что спасибо.

«А что можно сказать про воду, которая ещё не успела вытечь?»
Она рано или поздно станет вытекающей.

Распределение скоростей, разумеется, сложное. Анализ его мне не под силу. Поэтому я и уцепился за ЗСИ. Возможно, я погорячился и применил его коряво. Может быть, надо включить в рассмотрение наш шарик.
Буду подумать. И ждать мнения коллег.

Юрий Анатольевич, я вроде осознал, что Вы имеете в виду, предлагая подумать о воде внутри цистерны. Да, импульс цистерны и вытекающей струи должен в любой момент компенсироваться импульсом внутренней воды. Движение цистерны не может быть монотонным, иначе в мокром остатке мы получим, что вылившаяся вода и цистерна дружно движутся влево. В системе должны возникнуть колебания двух тел в противофазе. Колебания ассиметричные, с каждым периодом цистерна смещается влево. По мере вытекания воды амплитуда колебаний стремится к нулю. Всё устаканивается в тот момент, когда вся вода выльется. Цистерна занимает положенное ей место, а вылившаяся вода двумя потоками расплывается от своего центра масс.
Не очень глупо?

Полностью согласен, что импульс цистерны, направленный влево, и импульс вытекающей струи, имеющий горизонтальную компоненту, направленную также влево, в любой момент времени полностью компенсируются импульсом той массы воды, которая находится внутри цистерны и движется вправо как относительно цистерны, так и относительно земли.

Но немонотонность и колебания — это вряд ли. Нетрудно представить механизм внутри цистерны (типа поршня, придавливающего поверхность воды), который будет обеспечивать монотонное вертикальное перемещение относительно цистерны центра масс той воды, которая находится внутри. Мне кажется, что в начальной формулировке задачи подразумевается такой характер вытекания.

Слова первого абзаца этого поста справедливы для всех моментов времени, кроме первого и последнего. При t=0 скорость цистерны ещё равна нулю, первая порция вытекающей воды имеет вертикальную скорость как относительно цистерны, так и относительно земли. Но ускорение цистерны направлено влево из-за разности давлений воды на торцах. В последний момент времени последняя порция воды внутри цистерны смещается вправо, гасит свой горизонтальный импульс, сообщает цистерне импульс вправо (цистерна останавливается) и покидает цистерну с вертикальной скоростью.

Дмитрий Андреевич, немонотонность я придумал не от хорошей жизни, а ради спасения закона сохранения импульса. Уверен. что цистерна хоть раз меняет направление движения.
С Вашим объяснением причин начала движения согласен полностью. А вот трактовку последнего момента принимаю с маленькой оговоркой — последняя порция воды не обязательно смещается именно вправо.

Я забыл оговорить, что предполагаю отверстие находящимся на правом краю цистерны. Sorry. Поэтому для меня было очевидным, что последняя порция воды движется вправо. Располагая отверстие таким образом, я хотел максимально очистить задачу от осложнений и разобраться с наиболее простым вариантом, при этом не выхолащивая её окончательно.

Владимир Никифорович! Вы пишете, что в системе должны возникнуть
колебания. Итак, сначала цистерна движется влево. (Я надеюсь, что
не вправо всё-таки?) Потом в какой-то момент скорость цистерны
становится равной нулю. Давайте зафиксируем этот момент времени.
Давайте забудем про воду, которая уже успела вытечь. Всё равно
нам её не вернуть. Да и зачем она нам? Вода, которая вытекла,
уже не может никак повлиять на цистерну. Итак, скорость цистерны
равна нулю. Рассмотрим систему
цистерна + вода, которая ещё не вытекла.
Горизонтальная координата центра масс этой системы должна оставаться
постоянной. Разве теперь цистерна может начать двигаться вправо?

Юрий Анатольевич, движение цистерны начинается, конечно, влево.
Не согласен забывать про вытекшую воду — она нам пригодится для подведения окончательного баланся импульсов.
По существу последнего вопроса. Мне представляется, что в указанный момент времени уровень воды справа будет выше, что и обеспечит нужную разность давлений.

1) "Не согласен забывать про вытекшую воду..."
Но разве мы не имеем права строить разные рассуждения?
Хотим — рассуждаем про систему "Цистерна + вся вода",
хотим — забываем про некоторые части этой системы и
строим рассуждения для меньшей (но замкнутой!) системы.
Если Вы предлагаете правильное описание поведения цистерны,
то никакие рассуждения не должны приводить к противоречию.
Разумеется, что я имею в виду правильные рассуждения.
Я не предлагаю в левой части закона сохранения записать весь
импульс, а в правой части равенства что-нибудь забыть.

2) "...в указанный момент времени уровень воды справа будет выше..."
Если ускорение цистерны направлено влево, как в самом начале,
то в неинерциальной системе отсчёта, связанной с цистерной,
человечкам, которые плавают в цистерне, будет казаться, что
вектор g направлен не вертикально вниз, а отклонён в правую
сторону. В этом случае уровень воды справа должен быть выше.
Но когда движение цистерны влево стало замедляться, и скорость
падает до нуля — должно быть наоборот (ускорение направлено
вправо, вектор g отклонён влево, уровень воды выше слева).
Разве не так?

А если представить себе поршень внутри цистерны, придавливающий
поверхность воды, как предлагает Дмитрий Андреевич?
Тогда уж уровень воды будет всё время одинаковым с обеих сторон.

К вопросам, заданным в #8.

До каких пор цистерна будет двигаться ускоренно?
Формальный ответ — до тех пор, пока давление воды на левом торце больше, чем на правом. Из рассмотрения последнего момента вытекания (#18) вроде бы ясно, что когда воды остаётся мало, она должна свою большую горизонтальную скорость, направленную вправо, преобразовать в вертикальную. Это может произойти только за счёт горизонтального импульса, полученного со стороны цистерны и направленного влево. Следовательно, цистерна при этом будет уже иметь ускорение, направленное вправо, т.е. двигаться замедленно. По непрерывности в какой-то момент должно наступить переключение знака ускорения.

Наступит ли момент, когда она станет двигаться с постоянной скоростью?
По-моему, не обязательно. Интуитивно кажется, что для этого надо специально регулировать расход воды, исходя из массы оставшейся воды, скорости цистерны и, может быть геометрии. Формулы я не писал.

Будет ли она двигаться с постоянной скоростью бесконечно?
Нет.

Или, может быть, когда вся жидкость вытечет, цистерна остановится?
Да.

"Или, может быть, когда вся жидкость вытечет, цистерна остановится?
Да."

Дмитрий Андреевич! Вы отвергли предположение Владимира Никифоровича
о том, что в системе должны возникнуть колебания. По Вашему, цистерна
движется только влево, а в конце останавливается. Но тогда вся вода,
которая вытекала из цистерны, при отрыве от цистерны имела
горизонтальный импульс, направленный влево. Вода так и продолжает
двигаться влево. (Я забыл написать в условии задачи, что цистерна
находится на очень длинном железнодорожном мосту, перекинутом через
бездонную пропасть. Никакой лужи не будет!) А цистерна остановилась.
Получается противоречие с теоремой о движении центра масс системы.
Получается, что горизонтальная координата центра масс не постоянна.

Да, мне явно не хватает 40 лет размышлений на эту тему ;-)

Попытаюсь сформулировать основные тезисы "на пальцах".

1) Падение одной капли воды добавляет цистерне не импульс, а лишь координату (Δx=L/M(t)*ΔM). То есть, "собственная" скорость движения цистерны пропорциональная скорости вытекания воды.

2) Но вытекающая вода уносит с собой импульс (теперь уже не координату, а именно импульс): Δp=ΔM*v(t).

3) Поэтому, пока унесённый водой импульс ещё не стал значительным, цистерна просто движется влево со слегка нарастающей (из-за уменьшения массы) скоростью.

4) Но рано или поздно накопившийся отрицательный импульс вытекшей воды скомпенсирует скорость цистерны, и тогда она остановится и начнёт движение вправо.

5) Но при движении направо вода теперь уносит с собой уже положительный, а не отрицательный импульс. Таким образом, влияние вытекшей воды будет всё уменьшаться, пока не скомпенсируется до такой степени, что "собственная" скорость цистерны опять заставит её поехать влево.

6) Ну и т.д. — хоть и неравномерные, но колебания.

У меня сын занимается с Вашим репетитором. Он научил его решать задачи с применением центробежной силы. Сын решает правильно (в смысле ответа) все школьные задачи. Принимал участие в олимпиадах разных, включая МФТИ, ему засчитывают решения с центробежными силами.
Учительница ставит двойки, говорит никаких центробежных сил в природе нет.
Как мне с ней поговорить, как убеждать

http://opengia.ru/subjects/physics-11/topics/1?page=9

При совершении установившихся вынужденных колебаний маятник за период получает от источника энергию W1 и отдает в окружающую среду энергию W2. Зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы представлена на графике. При изменении частоты в интервале 0 < n < nрез между W1 и W2 выполняется соотношение.


Какой ответ правильный и почему?


Рассуждаю так: т.к. наступает резонанс, то энергии равны.

В открытом море на экваторе стоит высокая вертикальная скала. Как будет двигаться по этой скале тень, отбрасываемая сферической поверхностью Земли при заходе солнца?
Найти ускорение такого движения. Радиус земли 6400 км. За какое время тень переместиттся от основания до вершины скалы, если высота последней 1 км?

Когда Вы пришли на платформу, то увидели нос уезжающего вагона Вашего поезда. Через три секунды вы увидели хвост 9 вагона, а через 18 секунд хвост всего поезда. Всего вагонов 16. На сколько Вы опоздали.
Мне представляется, что задача внутренне противоречива. Такого быть не может??

Здравствуйте! Наверное, мы не совсем поняли тему. Помогите, пожалуйста, советом по решению задачи на законы Ньютона. На наклонную плоскость с углом наклона 30 градусов положили груз массой 1 кг. Какую силу, направленную вверх вдоль плоскости, необходимо приложить к грузу чтобы: а) удержать груз на плоскости; б) равномерно перемещать его вверх.
Заранее всем благодарна за помощь.
Шушпанова Ксения.