Задача по математике

У Вики есть 120 с числами от 1 до 10.Она хочет разбить все карточки на пары так, чтобы во всех парах получался один и тот же модуль разности чисел. Сколько существует способов так сделать?

Наверное, Вас интересует решение задачи с такими условиями:
У Вики есть 120 карточек с числами от 1 до 120. Она хочет разбить все карточки на пары так, чтобы во всех парах получался один и тот же модуль разности чисел. Сколько существует способов так сделать?

Обозначим через 𝑑 — модуль разности чисел (который должен быть одинаковым во всех парах). Понятно, что число 𝑑 — натуральное.
Будем делить числа на пары следующим образом: число 1 должно быть в паре с 𝑑 + 1, число 2 должно быть в паре с 𝑑 + 2, …, число 𝑑 должно быть в паре с 2𝑑. Таким образом, мы разбили на пары первые 2𝑑 натуральных чисел.
Аналогично продолжаем дальше: число 2𝑑 + 1 будет в паре с 3𝑑 + 1, число 2𝑑 + 2 — в паре с 3𝑑 + 2, …, число 3𝑑 окажется в паре с 4𝑑. Значит, следующие 2𝑑 натуральных чисел тоже разбились друг с другом на пары.
Таким образом получаем, что все множество всех чисел {1, 2, … , 120} разбивается на непересекающиеся классы по 2𝑑 чисел в каждом (каждый класс состоит при этом из 𝑑 пар). Следовательно, 120 должно делится на 2𝑑, то есть число 𝑑 должно быть делителем числа 60.
У числа 60 есть 12 натуральных делителей (https://www.wolframalpha.com/input/?i=divisors+of+60). Каждый делитель подходит в качестве 𝑑, ведь такому модулю разности будет соответствовать 60/𝑑 групп вида {2𝑘𝑑 + 1, 2𝑘𝑑 + 2, … , 2𝑘𝑑 + 2𝑑}, 𝑘 = 0, ..., 60/d — 1, которые очевидным образом разбиваются на пары с модулем разности 𝑑.

Ответ: 12 способов

Выпишем делители: 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120
Это и будут различные вариации представления разностей.
16