В треугольнике АВС сторона АС не длиннее 3, ВС не длиннее 4, а его площадь…

В треугольнике АВС сторона АС не длиннее 3, ВС не длиннее 4, а его площадь не меньше 6.Найдите радиус описанной около треугольника окружности.

ежели решать устно/эвристически, то r=1.
если не устно, то, не знаю(надо думать).

а да

6<=S<=(1/2)*3*4*sin(c)=6sin(c)
Отсюда угол С равен 90 градусов. Дальше ясно.

о, это я для вписанной нашел — "r=1"
а для описанной, наверно, будет R=5/2
(это так, на пальцах)

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты СH и АМ. АС=1 и угол HСМ = х. Найти площадь круга, описанного около треугольника НВМ

Для разминки.
1.В прямоугольном треугольнике ABC из вершины С прямого угла, проведена высота CD. Точка D находится на расстоянии m и n от катетов АС и ВС соответственно.Найти катеты.
2.Найти стороны прямоугольного треугольника по данным периметру 2p и высоте, проведенной к гипотенузе, h.
3.Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на 2 треугольника с площадями q и Q.Найти катеты.

Ну и от меня разминка на утро.
1) [x]*{x}<x-1, где [x]-целая часть, {x} — дробная часть.
2) Найти максимальное значение выражения x^2*y-y^2*x, где 0<=х<=1, 0<=y<=1.
3) В треугольнике АВС длины всех сторон целые числа,причем длины АВ и ВС простые, величина угла В — 120 градусов.Найти АС.

"Сторона клетки на шахматной доске 4 см. Чему равен радиус наибольшей окружности, которую можно провести на шахматной доске так, чтобы она проходила только по черным клеткам?"

Рассмотрим следующие свойства тетраэдра (тетраэдр — это произвольная треугольная пирамида):
• все грани равновелики, то есть имеют одну и ту же площадь;
• каждое ребро равно противоположному;
• все грани равны;
• центры описанной и вписанной сфер совпадают;
• для любой вершины тетраэдра сумма величин сходящихся в этой вершине плоских углов равна 180.
Докажите, что все эти свойства эквивалентны. Найдите ещё несколько равносильных им свойства тетраэдра.
(Н.Б.Васильев, А.Л. Тоом.)