В группе вычетов по модулю 12 ( по сложению) выписать порядки всех элементов. Какие вычеты порождают всю группу?

Не силен в алгебре, был бы рад любому объяснению

Егор, добрый день.
Можете уточнить, знаете ли Вы, что такое:
1) Вычеты по модулю 12
2) Группа
3) Порядок элемента группы?

Добрый день, да, знаю

Хорошо.

1) Если Вы понимаете, как складывать вычеты, тогда знаете или легко найдёте, какой из них является нейтральным элементом для операции сложения в данной группе.

2) Теперь попробуйте найти порядок какого-нибудь конкретного элемента, например «2». Действуйте просто по определению — применяйте операцию пока не получите нейтральный элемент.

3) Можно так отдельно каждый элемент рассмотреть, но после того, как разберётесь с двумя-тремя, скорее всего станет ясно, как быстро порядок определять.

Просто не совсем понимаю пока, на каком шаге у Вас возникли проблемы в решении.

Извините, поторопился, знаю только, что такое группа и как найти порядок элемента группы, видимо, основная проблема в непонимании, как находятся вычеты по модулю, объясните, пожалуйста

Если упрощённо и кратко, вычеты по модулю 12 — это остатки при делении чисел на 12.
Их можно складывать и умножать как обычные числа, только при получении результата нужно снова перейти к остаткам.
Например
6+8 mod 12 = 14 mod 12 = 2
6*8 mod 12 = 48 mod 12 = 0
По идее, этого достаточно для решения задачи

===============
Если говорить более строго, вычеты — это классы чисел, которые имеют один и тот же остаток (например, 2, -10 и 14 лежат в одном и том же классе mod 12 — т.е. в одном вычете).
Не трудно показать, что класс суммы или произведения чисел зависит только от класса каждого из операндов.
Соответственно, сложение и умножение целых чисел порождает сложение и умножение вычетов.

На практике вычет от остатка отличается тем, что остаток всегда от 0 до 11, а для обозначения вычета можно взять любое число из соответствующего класса (например, вычет «-1» — то же самое, что вычет «11»). Короче, вычеты удобнее немного.

К сожалению, у меня нет структурированных знаний по алгебре, т.к я перевелся из другого ВУЗа, в котором алгебре у меня не было, из-за этого все вытикающие проблемы.
Пока дошёл до того, что нашёл порядок элементов 5,7 и 11 — их порядок равен двум. Дальше ума не приложу, что с этим делать, если это вообще правильно сделано

Можете, пожалуйста, привести пример решения этой задачи, только по другому модулю, по примеру решить будет гораздо проще

Можете написать, как Вы рассуждали, когда получили, что порядок элемента 5 равен двум?

Подозреваю, что Вы умножали вычеты.
По умножению, действительно, порядки элементов 5, 7 и 11 равны 2.

Но в условии задачи речь идёт о сложении.
Соответственно, ничего умножать не надо, только складывать.
И нейтральный элемент нужно тоже для операции сложения рассматривать.

Так, ну если я все правильно понял, то вот что у меня получилось: ord1 = 12, ord 2 = 6, ord3 = 4, ord4 =3, ord5 = 12, ord6 = 2, ord7 = 12, ord 8 = 3, ord 9 = 4, ord 10 = 6 и ord11 = 12.
А вычеты порождающие всю группу — те, у кого порядок 12?

Да, всё правильно — и порядки, и про порождающие

ещё ord0 = 1 можно добавить, но, в принципе, это и так понятно

Кстати, с умножением у Вас не получилось, т.к. вычеты по умножению не образуют группу (в группе у каждого элемента должен быть обратный).

Однако, если рассмотреть только обратимые элементы, получится группа из четырёх элементов по умножению — как раз 1, 5, 7 и 11

Хорошо, оказалось все гораздо проще, проблема только в том, чтобы знать алгоритм по которому решать задание.
Спасибо вам большое!