В две колонки выписали 20 чисел

В две колонки выписали 20 чисел. В первую колонку выписали числа a1,a2,…,a10, во вторую колонку выписали числа b1,b2,…,b10. Оказалось, что среди этих 20 чисел ровно 10 целых. Отдельно выписали 100 попарных сумм чисел из этих двух колонок, т. е. все числа a1+b1,a1+b2,....a10+b10. Какое максимальное количество чисел из этих 100 сумм может быть целым?

Пусть x — количество целых чисел в первой колонке, 0 < = x < = 10. Целое число из первой колонки может образовать пару с целой суммой только с целым числом из второй колонки. Соответственно, количество таких пар будет x*(10-x), так как каждое из x целых чисел первой колонки образует пару с каждым из (10-x) целых чисел второй колонки.
Для нецелых чисел максимальное количество пар будет образовано в том случае, когда каждое из оставшихся (10-x) чисел первой колонки образует пару с каждым из оставшихся x чисел второй колонки. Простой пример: если все нецелые числа первой колонки равны 0.1, а нецелые числа правой колонки равны 0.9, они образуют (10-x)*x пар с целой суммой.
Таким образом, общее число пар с целой суммой будет x*(10-x)+(10-x)*x=2x(10-x) = -2x^2+20x.
Рассмотрим f(x) = -2x^2+20x, 0 < = x < = 10:
f'(x) = -4x + 20
f'(x) = 0 <=> -4x+20=0 <=> x = 5
Так как f'(x) > 0 на x < 5, и f'(x) < 0 на x > 5, то x = 5 является точкой максимума.
Соответственно, наибольшее значение f(x) достигает при x = 5 и f_max = f(5) = -2*25+20*5 = 50 — максимальное количество пар с целой суммой

сумма целого числа и нецелого всегда не цела, значит рассматриваем комбинации нецелое+нецелое или целое+целое. Рассмотрим случай, когда в каждой колонке по 5 целых и 5 нецелых чисел, тогда количество вариантов будет 5*5(целые)+5*5(нецелые) и того 50. В случае 4/6 получится 4*6+6*4=48. В случае 3/7 42. Ну и 2/8 1/9 будет 32 и 18 целых сумм соответственно. Следовательно ответом будет 50

Спасибо большое. А можете ещё помочь с вот этой задачей https: //ask.profi.ru/q/dan-kvadrat-11x11-v-kazhdoi-kletke-kotorogo-62037/

Есть две кучи по 10 камней. Масса каждого из которых является целым числом граммов кратным 10, причём масса всех 20 камней различные и не превосходят 200г. Марина взвесила и всевозможные пары камней в которых первый камень выбирался из первой кучи, а второй камень из второй кучи, и записала полученные в результате взвешиваний суммарной массы. Какое наибольшее количество различных сумм могло получиться у Марины?