Упрощение выражений с корнями

Подскажите пожалуйста. Прием подгонки под квадрат двучлена у меня не получился. Как еще можно упростить подобные выражения?

(1+3 корня из 5) в квадрате

(1 + 3√5)^2 = 1 + 6√5 + 45 = 46 + 6√5 ≠ 16 + 6√5

16 представьте как 5+9, потом 5=корень из 5 в квадрате, 9=3 в квадрате. Получаем под корнем квадрат суммы корня из 5 и 3, выносим ииииииз под корня=модуль корень из 5+3 и равно просто корень из 5+3

5 + 9 ≠ 16

спасибо за ответ. но, действительно 5+9 не = 16

Тогда первое слагаемое должно быть 46, а не 16

спасибо за ответ.

Скорее всего опечатка в задании, так выделить полный квадрат нет возможности. Можно взглянуть на полное условие задачи?

Здравствуйте, увы, пока нет такой возможности. Я репетитор и ученик мне принесли этот пример. Говорят с контрольной. Склоняюсь к мысли, что кто то чего то напутал. Возможно вместо 16 было 14. Но тогда ребята такой пример сами решили, еще на контрольной. Попрошу их узнать у своего учителя, как решается этот задание. Если будет что либо интересное, выложу.

Можно попробовать представить это выражение в виде a^2+2ab+b^2=16+6√5
После – решить систему вида
a^2+b^2=16
2ab=6√5

Спасибо за ответ. Но таким образом у меня решить не получилось. 16 не представляется суммой слагаемых на которые раскладывает произведение 6*5^0,5.

16=5+3*3. тогда 16-6\/5=3*3+2*3*\/5+5=(3+\/5)^2...

спасибо за ответ, но 16 не равно 5+9

Упрощение не всегда возможно. Но если хотите попытать силы, то можете обозначить искомое выражение буквой и составить на его основе уравнение, одним из корней которого будет являться искомое число, и решить его. Например:
1) последовательно избавляясь от радикалов возведением в степень, получить биквадратное уравнение с целыми коэффициентами. Разложите приравниваемый к нулю многочлен на множители в виде квадратных трёхчленов иным способом (не тем, который даст корни в исходной форме) – и найдёте другую форму записи. Не всегда более простую, особенно если представление в виде двучлена не дало желаемого результата.
2) вместо степенного уравнения можно составить тригонометрическое и решить его. Тоже не всегда получится более простая форма. Но если цель – избавиться от второго радикала любой ценой, то успех гарантирован:
√(16+6√5)= (4√2)•cos(¼•arccos(13/32)), проверьте.

Cпасибо. Попробую. Последовательно избавиться от радикалов возведением в степень у меня не получилось. В квадрате двучлена принципиально он не устраняется, как я понимаю. Приложил демонстрацию в файле. Последовательно три раза возводил в квадрат.
Как заменять степенное уравнение тригонометрическим, я не знаю. Может порекомендуете, где посмотреть об этом?

Чтобы избавиться от радикала, возводить в квадрат надо именно его (предварительно обособив), а не всё выражение с ним. Пусть √(16+6√y)=x, можете ли выразить игрек в виде явной функции от икс?

Преобразовать степенное уравнение в тригонометрическое можно, подставив вместо неизвестной величины тригонометрическую функцию. Надо подобрать такую, чтобы при последующем применении формул понижения степени получить уравнение в более простой форме. Если удаётся его решить, то цель достигнута. Литературу по теме не подскажу, давно с этим не работал – и позабыл, где видел. Попробуйте cos(15°) через радикалы выразить – тогда, возможно, догадаетесь, как делать обратные преобразования.

Кстати, если ваш радикал из #1 – лишь часть более сложного выражения, то надо пытаться упрощать всё сложное выражение в целом. Бывает, что часть не упрощается, а целое упростить возможно.

Понятно. Спасибо.

Рассказали ученики, что имел в виду учитель, задавая эту задачу. Она действительно не решаемая. А нужно было получить следующий ответ, под корнем должно остаться квадрат двучлена их коня 9 и корня 5 плюс 2. Т.е. нужно было не решить задачу, а сделать чего ни будь. Он смотрит на то, что ученик вообще пытался сделать. Я не нахожу слов, что бы выразить свое отношение к такому учителю. Самое мягкое — придурок. Дать ученикам на КОНТРОЛЬНОЙ нерешаемую задачу и после уменьшать оценку за не решение ее.

Выделим полный квадрат и в итоге получим корень из 5 плюс 3. В исходном примере ошибка. Там должно быть 14 плюс 6 умножить на корень из 5

Да, верно. Спасибо за отклик.