Сколько решений имеет уравнение круг+ четырехугольник+треугольник=10

Наша задача: [m]x_1+x_2+x_3=10, x_i\in\{1,\dots,8\}[/m]. Она, очевидно, эквивалентна задаче [m]y_1+y_2+y_3=7, y_i=x_i-1\in\{0,\dots, 7\}[/m].
Эту задачу можно решить следующим образом: возьмем 7 предметов и положим между ними 2 перегородки. Тогда
[m]y_1[/m] — число предметов до 1 перегодки
[m]y_2[/m] — число предметов межу 1 и 2 перегородками
[m]y_3[/m] — число предметов за 2 перегородкой.
Способов такого размещения: [m]C_{7+2}^2=\frac{9\cdot 8}{2}=36[/m] вариантов.
Это и есть ответ.

Видимо, преподаватель хотел решение в стиле:
Случай 1 — 2 цифры одинаковы, тогда варинаты: 1,1,8 (3 перестановки), 2,2,6 (3 перестановки), 3,3,4 (3 перестановки), 4,4,2 (3 перестановки) — всего 12 вариантов
Случай 2 — все 3 цифры разные. Тогда у нас варианты: 1,2,7 (6 перестановок), 1,3,6 (-//-); 1,4,5; 2,3,5; — всего 24 варианта
Суммарно: 12+24=36 вариантов — естественно, то же число, что и в 1 решении.