Задача С4.

В треугольнике [m]ABC[/m] со стороной [m]AB=4[/m] проведены медианы [m]AD[/m] и [m]BE[/m], которые пересекаются в точке [m]M[/m]. Известно, что в четырехугольник [m]CDME[/m] можно вписать окружность с центром [m]O[/m], а угол [m]OED[/m] в [m]4[/m] раза меньше угла [m]ACB[/m]. Найти площадь треугольника [m]OED[/m].

Задача затрагивает несколько свойств треугольника и полезна для проверки знаний на завершающем этапе подготовки по планиметрии.

И что считать ответом в данной задаче: выражение через триг. функции, выражение через радикалы, приближенное значение?

Может проще спросить, чему равен угол OED?

15 град. ?

Угол, разумеется, тот самый. Но ценен не ответ, а путь к его достижению. :-)

Задача специально рассчитана на несколько шагов.
1. Доказательство одного факта.
2. Доказательство другого факта.
(Специально не называю сами факты, чтобы была возможность желающим решить самостоятельно.)
3. Вычисление площади.
Ответ. [m]2-\sqrt{3}[/m].
За каждый правильно выполненный шаг ставится по баллу. Общая сумма за задачу С4 составляет 3 балла.
Разумеется, рассматриваются и другие способы решения, которые оцениваются индивидуально. Рассчитывается, что большинство школьников, все же, будут решать так, как задумано. По крайней мере, мои ученики пока других направлений не предлагали, различались только способы доказательства фактов и вычисления площади.

То есть непременно хотите в радикалах, tg(15 градусов) не устроит?

А если бы там оказалось не 15 градусов, а 12, например — тоже потребовали бы вычислить в радикалах?

В зависимости от настроения. Часто прошу школьника получить ответ в радикалах в подобных ситуациях, особенно если есть сомнения в том, что он это может сделать. Если такая проблема возникнет на ЕГЭ, то рекомендую вычислять. Значения тригонометрических функция половинных углов легко находятся с помощью биссектрисы, пару минут можно потратить. Ситуация с 12 градусами слишком муторна, чтобы возиться с вычислениями. Вероятность возникновения необходимости вычисления такого близка к 0.

А каково Ваше мнение, коллега?

P.S. Задачу, кстати, можно решать и без использования тригонометрии.

На P.S. — никакой тригонометрии — то, что искомый угол 15 градусов, находится без всякой тригонометрии. А "вычисление" площади равнобедренного треугольника по основанию и углу при основании — это не тригонометрия, а сокращенная форма записи результата. Потому и написал в №2, что вопрос про площадь излишен.

Функции половинных углов, естественно, считаются — хоть геометрически, хоть аналитически. Но я искренне не понимаю, зачем нужно это упражнение (приведение к выражению в радикалах), тем более — зачем оно нужно в рамках задачи по геометрии.

Пятиэтажное (в случае более проблемных, чем 15 градусов, углов) выражение в радикалах сложнее вычислить(если в том возникнет необходимость) и оно менее понятно, что триг функция от явно заданного угла.

Да и вряд ли ЕГЭ эксперты упрутся и будут требовать именно радикалов, а если и упрутся — это с большой вероятностью апеллируется.

Короче, мое мнение близко к тому, что нецелый ответ в экзаменационной задаче — это недоработка составителя экзамена.

Короче, мое мнение близко к тому, что нецелый ответ в экзаменационной задаче — это недоработка составителя экзамена.
В таком случае, по Вашей логике, не дорабатывают составители всех экзаменов, о которых мне известно, потому что я не могу вспомнить экзаменов с только лишь целыми ответами.

Не надо понимать все буквально — тем более, что я написал "близко к тому".

Но, скажем, дискриминант — неточный квадрат, или прямоугольный нецелочисленный треугольник (появляющиеся в ответе) — это явные косяки, если подбором параметров (или косметическим изменением вопроса задачи) можно сделать такую же задачу без этих проблем.

Кабы не педагогические изыски (чтобы дети не подгоняли под ответ) — вообще бы сделал в большинстве задач правильным ответом единицу и спокойно оценивал решение.

Тем самым моментально снимаются всякие ненужные вопросы вроде "снимать или не снимать баллы, если решение верное, а ответ — неверный".

В равнобедренном треугольнике KLM с основанием KM высоты LP и KB пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника KLO если LO=5, PO=4,
Не могу разобраться, как искать площадь, зная только высоту. Получилось только, что площадь KLO это 5/18 от площади всего KLM. Решение не нужно, я хочу понять, как тут рассуждать.

Даны 3 треугольника — BAH, ABC и ADC. HB равно 10, углы ABC, BHA и ADC прямые, а углы BAC и ACB равны 45 градусам. AH=AD, HB параллельна прямой DC.
Требуется найти AH.

В прямоугольном треугольнике MNK из вершины прямого угла К проведена высота KD. Найти наименьшую сторону треугольника MNK, если радиус окружности, вписанной в треугольник MNK равен 2, а периметр треугольника MKD равен 14,4.

Вот совсем детская задачка, но, может быть, кому-нибудь будет полезна?
Найти четырёхзначное число, равное четвёртой степени суммы своих цифр.

Разумеется, несложное.
Обычно даю подобное задание (необязательно с числом, означающим текущий год) своим ученикам с 5 по 7 класс, иногда четвероклассникам (их знаний вполне достаточно).

Представьте число 2012 как произведение нескольких чисел так, чтобы сумма тех же чисел тоже была равна 2012.
Начиная с 6-го класса желательно найти все решения. Моложе — достаточно одно.