Показательно-степенные уравнения

Не могу сыну правильно объяснить, он начал в матшколе изучать эти странные уравнения.
1) х!(факториал)=1
2) |x-2|^(x^2+x-6)=1
3) (x)^(x)^0/5=((x)^0/5)^x-х в степени корень из х= корень из х в степени х.
Ранее я видел у Вас дискуссию на тему ноль в степени ноль. Даже сам задал вопрос: почему все спокойно смотрят на 0!=1 и бурно реагируют на 0^0=1.
Мне это самому интересно.

Потому что 0!=(N-1)! при N=1. Как известно, (N-1)!=N!/N=1/1=1. Поэтому 0!=1.

Что до 0^0, то нулевую степень любого числа можно определить так: N^(x-x)=N^x /N^x =1. Если же мы попробуем возвести в нулевую степень ноль, то придется выполнять действие 0^x /0^x, то есть делить ноль на ноль. Что даст неопределённость.

1-е и 2-е уравнение решаются по определениям. Вспомните, факториал какого (каких) числа равен единице?
Во втором уравнении подумайте, в какую степень нужно возводить число, чтобы получить единицу. Какое число нельзя возводить в эту степень (то есть, найдите ОДЗ)? Какой есть ещё вариант, когда некое число возводится в степень (отличную от степени из первого вопроса!), а в ответе получается единица?

В 3-м уравнении просто воспользуйтесь свойствами степени. И не забудьте определить ОДЗ.

А что смущает в том, что 0 элементов можно упорядочить одним способом? Не нулем же, в самом деле.
Собственно, определение 0!=1 идеально вкладывается во все свойства факториалов и биномиальных коэффициентов, так что ничего удивительного. А 0^0 не вписывается, добавление этой точки делает функцию разрывной, что уже совершенно неудобно.

Правильно ли я понимаю, что:
в первом уравнении решения х=0,х=1
во втором х=1, х=3, х=-3
в третьем уравнении х=4

Большая просьба оценить все же мои ответы.

Первые два уравнения решены правильно, в третьем еще есть корень единица.

Во втором уравнении еще корень х=2, а в третьем еще корень х=0.
Я не буду приводить «доказательств», «обоснований», скажу лишь : Вас так учили , а меня так. Подробное обсуждение было в теме «Ноль в степени ноль».
$[m]1={{(1+0)}^{0}}=\frac{0!}{0!0!}{{1}^{0}}{{0}^{0}}[/m] , отсюда появляется требование(соглашение, обозначение) 0!=1 и 0^0=1. , отсюда появляется требование(соглашение, обозначение) 0!=1 и 0^0=1.
Вот в ЗФТШ преподаватель после всех математических формализмов с уравнением x^x=1, улыбаясь добавлял. Если поступаете на мехмат, то это уравнение имеет один корень х=1. Если поступаете на Физтех, то у этого уравнения два корня, еще х=0.

Нет-нет, не надо пожалуйста мягкое с теплым путать.
0! = Gamma(1) =1 — совершенно рядовое значение гамма-функции. Оно может быть не вполне очевидно с точки зрения определения факториала (зато очевидно с точки зрения смысла факториала), но оно вписывается в общие свойства факториала.
У x^y в точке (0,0) неустранимый разрыв, любое дополнение ее в этой точке приведет к тому, что x^y станет разрывной на области определения. То есть каждый раз, пользуясь удобными свойствами x^y, например, непрерывностью, нам придется оговаривать — кроме (0,0).

Пока вы с дискретными степенями работаете, то 0^0=1 вполне работает, но в рамках непрерывных функций это неприемлимо.
Поэтому если на физтехе 0^0=1, то там работают только с дискретными степенями.

Когда дается уравнение, то всегда надо указывать , на каком множестве оно решается. В предложенных уравнениях это не указано, но ясно, что в рамках школьной программы. На Физтехе 0^0 не равно 1, а в ЗФТШ равно. Те, кто меня минусует элементарно не владеют математической культурой.
Вопрос , какой корень у уравнения |x-2|^x=0 ??? остается ?

Вот из-за этого у нас и неразбериха. Второе уравнение из одного задачника, там нет корня х=2. Третье уравнение из другого задачника, там в ответе есть корень х=0. Указано, что 0^0=1 по определению.
В школьном учебнике написано, что основание должно быть больше 0.
Тогда вопрос , какой корень у уравнения |x-2|^x=0 ???

Как там у вас в задачнике — я не знаю. Но в целом ситуация обстоит так:

Есть несколько кусков x^y
1) Есть основная непрерывная часть — x^y, где x>0, y — любые
2) Есть x^{y}, x=0, y>0.
3) Кроме того, есть используемое для целых степеней
Есть x^{y} для x<0, y целых.

Все это вместе использовать как одну функцию очень неудобно, потому что у нее область определения крайне несимпатичная — полуплоскость + луч + еще набор лучей.
Поэтому в разных случаях под этим понимают разное.
Если у нас задача о дискретных степенях, то используют все три куска. Иногда используют 0^0 = 1, потому что это хорошо вписывается в дискретные формулы, например, бином Ньютона (a+0)^n. Но, в целом, в значения функции это не принято добавлять, потому что куски 1), 2), 3) не нарушают непрерывности нашей функции, а 0^0 нарушает.

Если как у вас степени общего вида, никаких ограничений на дискретность нет, то берут первые два куска. У вас никаких ограничений на x,y нет, поэтому считайте, что функция определена при полуплоскости x>0 и луче x=0, y>0.
Бывает, что луч (второй кусок) выкидывают, чтобы область определения была поприятнее, но это, в целом, не очень хорошо.

В задаче про |x-2|^x по умолчанию ограничений нет и считается, что вы рассматриваете фрагменты 1) и 2)

Всё, что Вы здесь написали-абсолютно верно. Но здесь Вы должны выступать как репетитор, в данном случае для школьника. Как это объяснить школьнику. Ведь они твердят: в школе говорят, что основание должно быть больше нуля.
У меня был ученик(сейчас на Физтехе учится), который школьного педагога такими уравнениями замучил. Получил в конце ответ: отстань от меня с этим, это кроме тебя никого не интересует. В ЕГЭ этого не будет.

В результате пришли , с чего начали. Какие корни верные, как объяснять школьнику остается неизвестным.

Если взять учебник(задачник) для ВУЗов, то там всегда формулировка типа: Решить уравнение на R[x], найти корни многочлена в поле Zпять.
То есть всегда указывается множество, на котором надо решать уравнение. В пособии по математике ЗФТШ (под ред Г. Н. Яковлева) при рассмотрении показательно-степенных уравнений сделан оговорка. Будем рассматривать лишь такие значения х, при которых основание положительно. Что не означает, что основание не может быть равным нулю.
В школе , к сожалению, не учат указывать, где решается уравнение. Да еще в разных задачниках принимиаются разные условия.

Встретился заголовок статьи, самой статьи не видел. Но я никогда не слышал о таком понятии, что это такое.

КРИТЕРИЙ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПЕРИОДИЧНОСТИ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вопрос "Кто он? Брат брата моего брата"
Ответы: человек, мужчина, родственник, я , мой брат, троюродный брат, сводный брат и т.д. не подходят!!!!!!!!!!!!!!!!!
Перечитала весь курс логики, а ответа не могу найти!
ПОМОГИТЕ!!!!! не могу спокойно спать!

Две леди едут в поезде, в купе. Смотрят друг на друга и смеются.
Вдруг одна леди хватает сумочку, достает зеркальце и платочек и начинает стирать пятно сажи со щеки.
Как она поняла, что ее лицо перемазано?

Очень Распространенная задача С6

n! + 5*n +13 = k*k

Справа стоит квадрат нат. числа, значит число слева не может заканчиваться на 3 и 8.

При n большем или равном 5 факториал оканчивается на 0, а 5*n +13 дадут на конце 3 или 8, чего не может быть)

Значит n < 5.

С легкостью перебирая все n от 1 до 4, получаем ответ)

Какой? Напишите сами!)

На листе бумаги лежит шарик. Как используя канцелярские принадлежности определить его среднее давление на опору? Мне самому будут интересны результаты такого эксперимента. Давление в школе проходят довольно поверхностно.

1. 1 кг яблок стоит 1 руб., 1 кг. груш стоит 10 руб., 1 кг. персиков стоит 50 р. Надо на 500 руб. купить 100 кг фруктов. Найти все возможные варианты.
Я нашел только 1 вариант, моя знакомая другой. А у вас сколько получится?
2. (В1) Для приготовления р-ра бетона надо взять цемент. песок и щебень в отношении 1:3:2. Какое наименьшее количество пакетов цемента, песка и щебня надо купить, чтобы приготовить 900 кг бетона, если пакет цемента имеет массу 50кг, песка -40 кг, щебня 40 кг?
в ответе 23, а у меня 24...
Помогите, пожалуйста