Площадь эллипса

Как вычислить (получить формулу) площадь эллипса с полуосями a,b.
Я школьник- 9 класс, дали такое задание на дополнительной математике.

Можно интегрировать, но в 9 классе не у всех получится.
Эллипс есть сплющенная окружность, значит надо по одной оси сделать обратное. При увеличении масштаба вдоль одной из осей площади фигур увеличиваются во столько же раз, поэтому площадь эллипса равна
[m]\pi {{b}^{2}}\frac{a}{b}=\pi ab[/m]

Строгость этого доказательства будет только через рассмотрение бесконечно малых кусочков этого эллипса, которые вот именно так будут отличаться от окружности.

Очевидно, для 9-го класса как-то не очень.

По идее надо доказывать как-то геометрически, через формулы площадей других фигур... мдааааа... у меня идей нет. Интересно было бы увидеть вывод формулы на основе школьной геометрии.

И чем же "мое" доказательство не кажется Вам школьным?

Вот нашел школьное доказательство.

https://ru.wikihow.com/%D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C-%D…

Там нет ничего, даже отдаленно напоминающего доказательство.
Просто инструкция.

Если придумать отображение, которое гомеоморфно (с сохранением площади) переводит эллипс в окружность, то профит. Но....это в каком-то смысле сложнее, чем проинтегрировать уравнение эллипса.

А может поможет Кеплер?

Вот, кстати, да. Может забабахать что-то с Кеплером. Кто сможет?

На этот раз вынужден согласиться с Б. М. Кругликовым...
Его "вывод" площади, ограниченной эллипсом, так же "строг", как "вывод" формулы площади прямоугольника... Ничего лучше на школьном уровне ответить нельзя. И да, по крайней мере, в старых учебниках геометрии (я учился по такому в 80-х) доказательство формулы
[m]S = ab[/m]
осуществлялось (по существу) "жордан-квадрированием" прямоугольника вдоль измерений, соответствующие предельные процессы объяснялись на пальцах. То есть конструкция [m]10^{-n}[/m] там всё же присутствовала. Отсюда и до растяжений по осям недалеко.
Думаю, школьнику не мешает знать чувствовать, что площадь фигуры пропорционально реагирует на деформации вдоль взаимно перпендикулярных направлений. Всё, конечно, упирается в вечный вопрос — что можно, а что нельзя считать "очевидным" при использовании средств матанализа в школе.

Нельзя просто так взять и согласиться с Б.М. Кругликовым

Конечно, нельзя. Я же Палкин!

Тоже долго искал где можно вычислить площадь эллипса. В итоге нашел место, где несколько десятков калькуляторов. Вполне удобных и быстрых.
Вот ссылка: https://studwork.org/spravochnik/matematika
Нужно ввести пару данных и все... калькулятор выдаст вам правильный результат!

Рассмотрим цилиндрическую поверхность радиуса b (для определённости, [m]a \ge b[/m]). Пусть плоскость P пересекает эту поверхность под углом [m]\varphi=\arcsin{\frac{b}{a}}[/m] к её центральной оси. Площадь полученного сечения определяем по формуле:
[m]S= \frac{S'}{sin \varphi}=\pi b^2 \cdot \frac{a}{b}=\pi ab[/m],
где S' — площадь сечения, перпендикулярного оси цилиндра.

Остаётся доказать, что кривая [m]\gamma[/m] в сечении плоскости P — эллипс.
Впишем в цилиндр сферу, касающуюся плоскости P. Обозначим F точку касания сферы плоскости и Q — плоскость, в которой лежит окружность касания сферы с цилиндром. Через произвольную точку M кривой [m]\gamma[/m] проводим отрезок образующей цилиндра до пересечения с плоскостью Q в точке B. Из точки M опустим перпендикуляр на прямую l пересечения плоскостей Р и Q (A — точка пересечения этих прямых).
FM=BM, как касательные к сфере из одной точки. Поэтому
[m]\lambda=\frac{FM}{AM} =\frac{BM}{AM}=cos \varphi=const[/m].
Таким образом, отношение расстояний от точки F (фокуса) и прямой l (директрисы) постоянно. При этом эксцентриситет [m]\lambda \le 1[/m], следовательно, кривая [m]\gamma[/m] — эллипс.

Заметим, что использование формулы соотношений площадей плоской фигуры и её проекции является вполне строгим (с точностью до определения площади круга как предела последовательности площадей правильных вписанных многоугольников). Вписанному в окружность многоугольнику соответствует вписанный в эллипс "растянутый" многоугольник. Отношение площадей упомянутых фигур очевидно. Далее, — предельный переход.

Приношу извинения за неточность. Случай [m]\lambda=1[/m], когда [m]\varphi=0[/m], конечно, исключается. (Кстати, соответствует параболе.)

Да, изящный поворот сюжета

Конечно, это очень сложно для школьника, но включает только школьные материалы. Аплодисменты!

Двум школьникам дали задание вычислить сумму квадратов трех подряд идущих натуральных чисел. У одного из них получилось 434, а другого 508, но один из них допустил ошибку в вычислениях. Определите, какой из результатов неверный

Перед уроками каждый, кроме Васи, поздоровался с 1, 3 или 5 одноклассниками. При этом только Вася за партой сидит один. Докажите, что если есть школьник, который не здоровался с Васей, то таких, по крайней мере, двое. (Если ученик А поздоровался с В, то и В поздоровался с А).

Около прямоугольника описан эллипс, найти наименьшую площадь эллипса (площадь эллипса с полуосями a и b равна pi*a*b).

Добрый день! Племяннице дали задачу на дом — никак не можем справиться. Подскажите, пож-та, решение
Lg(x) по основанию 1\3 =3^x