СПРОСИ ПРОФИ
👍
+3
👎 334

Расстояние между кривыми

Почти за триста лет что-то подзабыл я матан, помогите, пожалуйста, добрые люди ;-)
Предположим, на плоскости есть эллипс с осями, параллельными осям Ох и Оу. Параллельным переносом смещаем эллипс на "а" вдоль Ох и на "b" вдоль Oy так, чтобы эллипсы не имели общих точек. Чему равно минимальное расстояние между точками эллипсов в этом случае.
То есть 2 эллипса одинаковые. Понятно, что нужно найти точки, в которых угловые коэффициенты касательных одинаковые, при этом отрезок, соединяющий эти точки должен быть перпендикулярен этим касательным, но с реализацией как-то туго.
И, если можно, без вариационных методов.
математика обучение     #1 ⇒   27 сен 2016 12:32   Увидели: 439 клиентов, 6 специалистов   Ответить
👍
−3
👎 -3
  ⇐ #2 ⇒   27 сен 2016 12:52   Ответить
👍
0
👎 0
Можно параметризовать кривые. Скажем, для первого эллипса имеем:
[m]x=a\cos\phi_1; y=b\sin\phi_1[/m]
Аналогично для второго, со смещением.
Ну и далее помолясь попробовать поискать значения параметров — то есть найти безусловный экстремум с двумя переменными.
Кстати, есть сильное подозрение, что их разность равна [m]\pi[/m].
  ⇐ #35   14 дек 2017 21:23   Ответить
👍
−1
👎 -1
Можно найти через экстремум, можно через длину кривой и методами вариационного исчисления.... Можно даже, наверное по простому: возьмем функцию — расстояние между точками на плоскости в общим виде. Нужно найти минимум этой функции при услолвии, что точки принадлежат эллипсам
  ⇐ #3 ⇒   27 сен 2016 13:09   Ответить
👍
0
👎 0
Такое ощущение, что Вы меня не слушаете, Андрей Александрович и Константин Игоревич.
Хотелось бы увиеть (хоть вкратце, с обозначением основных моментов) реализацию этих гениальных идей.
Вот Вы бы сначала попробовали сами проделать то, что говорите, а потом советовали. А то в теории все молодцы, в том числе и я, потому что тоже представляю в теории, что должно происходить и выполнятся, а вот реализация хромает, как я уже сказал.
Ладно уж реализация...конечный ответ хотя бы увидеть, а уж как его получить я постараюсь ещё раз подумать сам — разомну извилины.
  ⇐ #4 ⇒   27 сен 2016 13:26   Ответить
👍
−1
👎 -1
Похоже яблока в голову вам мало было)
  ⇐ #5 ⇒   27 сен 2016 16:49   Ответить
👍
−1
👎 -1
Берете 2 точки (x1,y1) и (x2,y2). Расстояние между 2мя точками находится по известной формуле. вот её (можно даже без знака корня надо минимизировать), а в качестве условий берете уравнение ваших эллипсов, только стоит учесть, что первое условие выполнено для точки (x1,y1), второе — (x2,y2). Единственная трудность — это 4 неизвестных, но вам ведь все по плечу? Ну на крайний случай Лейбница позовите!
  ⇐ #6 ⇒   27 сен 2016 16:53   Ответить
👍
0
👎 0
А я вот думаю, можно ли сократить количество переменных до двух, если после минимизации просто убрать те значения, которые дадут нулевой минимум? Еще я подумал о том, что можно аналитической геометрией пользоваться. Составить расстояние между кривыми как расстояние между касательными и минимизировать функцию расстояния уже как обычный (безусловный ) экстремум?
  ⇐ #7 ⇒   27 сен 2016 21:58   Ответить
👍
−2
👎 -2
В общем виде вряд ли такое будет возможно. Тут ведь даны не функции, а уравнения кривых
  ⇐ #9 ⇒   28 сен 2016 13:41   Ответить
👍
−1
👎 -1
Посмотрите тему "условный экстремум" в Виноградове или любом другом ученике по анализу. Примеры поиска экстремума можете найти в Фихтенгольце, китайском антидемидовиче или в интернете. Ключевые слова: условный экстремум, метод множителей Лагранжа. Составляете функцию расстояния между точками, как написано ниже. Вот у Вас есть два уравнения — ваши условия. Дальше составляете функцию Лагранжа и ищите минимум. МОгу подробнее: составляете функцию Лагранжа, ищите у нее стацинарные точки, потом считаете второй дифференциал этой функции. Далее исследуете каждую тоску станционарную (для которой необхоимое условие экстремума выполнено) ПОдставляете ее во второй дифференциал. Далее КЛЮЧЕВОЕ отличие именно условного экстремума: Вам нужно СУЗИТЬ вашу квадратичную форму на данные условия. Исключатся переменные. Дальше исследуете эту форму на знак — достаточное условие экстремума. Муторная вычислительная работа.
  ⇐ #8 ⇒   27 сен 2016 22:05   Ответить
👍
+1
👎 1
И какой же ответ у Вас получился?)
  ⇐ #10 ⇒   28 сен 2016 15:26   Ответить
👍
−1
👎 -1
Сейчас я угадаю следующий вопрос: "а как вы нашли?"
  ⇐ #11 ⇒   29 сен 2016 13:54   Ответить
👍
+2
👎 2
Нет. Вопрос был к тому, что я хочу, чтобы кто-то своими руками вычисления проделал, а уж потом "умничал" на тему, что это легко, но муторно...
Если бы это было легко, я бы сам справился.
  ⇐ #18 ⇒   29 сен 2016 20:41   Ответить
👍
−3
👎 -3
Я не понимаю Ваш вопрос. Если вы хотите этому научиться — проделайте алгоритм сами. Можете даже промежуточные результаты сюда выложить и многие вам подскажут с вашими вопросами. Если Вы не хотите учиться, а вам нужен ответ, возьмите любой пакет компьютерной алгебры (мейпл, матлаб, математика, вольфрам....) и заставьте его найти этот экстремум.
  ⇐ #12 ⇒   29 сен 2016 15:48   Ответить
👍
0
👎 0
Да что Вы говорите, уважаемый! Просто признайтесь, что лично Вы этого сделать не можете. А то бить себя в грудь и говорить, что всё просто может каждый.
  ⇐ #17 ⇒   29 сен 2016 20:40   Ответить
👍
+1
👎 1
Я практически уверен, что если взять два одинаковые произвольные эллипса (пусть даже приведенных к осям) и как-то их сдвинуть (пусть даже достаточно сильно, чтобы они не пересекались) и воспользоваться подходом Лагранжа, то задача сведется к решению некоторых полиномиальных уравнений 4-го порядка. Выглядеть это будет реально страшно и с этим ничего особо умного сделать нельзя, точки минимумов зависят от исходных данных "плохо" (в случае расстояний между аффинными многообразиями есть всякие хитрые методы их нахождения, можно использовать их вместо Лагранжа, но ответ от этого не улучшится).
  ⇐ #13 ⇒   29 сен 2016 17:13   Ответить
👍
−1
👎 -1
Вы имеете ввиду при поиске стационарных точек? А, если построить для этой системы базис гребнера, может степень упадет и все выразится не так страшно?

а в какой момент возникнет четвертая степень? Вед дифференцирование понижает степень. а в условии задачи все многочлены второй степени
  ⇐ #14 ⇒   29 сен 2016 18:38   Ответить
👍
0
👎 0
> Вы имеете ввиду при поиске стационарных точек?
Да.

> может степень упадет и все выразится не так страшно?

Если это произойдет, то это будет какая-то магия. Там с кратчайшим расстоянием ситуация хитрая (я точно знаю, что в случае эллипсоидов найти минимальное расстояние между ними --- это трудная задача).

Мне кажется, что тут есть какой-то шанс на какой-то успех, если делать примерно так.

Сначала получить формулу минимального расстояния от точки до эллипса, потом пытаться двигать эту точку (наверняка с тригонометрической параметризацией). Но я не верю в разумную формулу.
  ⇐ #15 ⇒   29 сен 2016 19:00   Ответить
👍
0
👎 0
Что степень будет достаточно большой следует из того, что там (в том уравнении из системы из которого гребнер исключил все неизвестные кроме одной) будет сидеть как минимум координата минимума, максимума и две координаты седловых точек.
  ⇐ #16 ⇒   29 сен 2016 19:05   Ответить
👍
+2
👎 2
Вот и я о чём! Получается жесть!
Спасибо, Андрей Михайлович за первый адекватный ответ в этой теме.
  ⇐ #19 ⇒   29 сен 2016 20:43   Ответить
👍
−2
👎 -2
Да мы тут все неадекваты сидим видимо. Данный форум не предназначен для решения задач, а для методической помощи. Видимо адекватная помощь для вас — это не предложить никакого конкретного варианта решения. Окей.
  ⇐ #20 ⇒   30 сен 2016 16:42   Ответить
👍
−2
👎 -2
Понятно, что минимальное расстояние будет содержаться на отрезке, соединяющем центры эллипсов. Наверное, такую то задачу вам по силам решить. Или найти точку пересечения эллипса и прямой тоже непосильная задача?
  ⇐ #21 ⇒   30 сен 2016 16:46   Ответить
👍
+3
👎 3
> минимальное расстояние будет содержаться на отрезке, соединяющем центры эллипсов

Я думаю, что это неверно хотя бы из того соображения, что отрезок, реализующий минимальное расстояние, должен быть перпендикулярен эллипсам.
  ⇐ #22 ⇒   30 сен 2016 17:45   Ответить
👍
+3
👎 3
Думаю, что из картинки все хорошо видно.
  ⇐ #23 ⇒   30 сен 2016 18:17   Ответить
👍
0
👎 0
Наверное, можно так. Обозначим через s расстояние от точки пересечения зелёной прямой с вертикальной осью левого эллипса — до центра этого эллипса. Очевидно, точка с пересечения той же зелёной прямой с вертикальной осью правого эллипса должна быть на том же расстоянии s от его центра.
Пишем уравнение прямой, проходящей через эти две точки — т.е. уравнение зелёной линии. Остаётся подобрать значение параметра s таким, чтобы эта прямая была бы нормалью в точке пересечения с эллиптической линией, например, левого эллипса. Она автоматически будет нормалью и для второго эллипса.
  ⇐ #24 ⇒   30 сен 2016 23:32   Ответить
👍
+1
👎 1
Это сработает, но в >Остаётся подобрать значение параметра s таким, чтобы эта прямая была бы нормалью< возникнет уравнение четвертой степени.
  ⇐ #25 ⇒   30 сен 2016 23:39   Ответить
👍
0
👎 0
А если перенести начало координат в точку, лежащую на линии, соединяющей центры эллипсов, посредине между ними? Симметрия не поможет?
  ⇐ #26 ⇒   01 окт 2016 09:59   Ответить
👍
+1
👎 1
Крайне маловероятно. Линейная замена просто как-то поменяет коэффициенты.

Можно свести задачу к решению тригонометрического уравнения вида:

[m]\sin x\cos x+a\sin x+b\cos x=0,[/m]

где a и b мы должны считать произвольными. Но толка от этого нет.
  ⇐ #27 ⇒   01 окт 2016 12:03   Ответить
👍
0
👎 0
Ха..и правда! Это если х и у в полярных координатах.
  ⇐ #28 ⇒   01 окт 2016 17:18   Ответить
👍
+1
👎 1
Ага, только толка от этого нет.
  ⇐ #29 ⇒   01 окт 2016 18:44   Ответить
👍
0
👎 0
Я надеялся на биквадратное уравнение. Но сам поиск такой системы (если она вообще есть), может оказаться задачей такой же трудности.
  ⇐ #32 ⇒   01 окт 2016 19:49   Ответить
👍
+2
👎 2
Это ж надо было такое сморозить!
И чему же Вы хотели, чтобы я научился сам, если для Вас, как и для товарища Белозёрова, эта задача для самих является непосильной?
  ⇐ #30 ⇒   01 окт 2016 19:06   Ответить
👍
0
👎 0
Наличие уравнения четвертой степени — не катастрофа в том смысле, что в радикалах разрешимо. Другое дело, что ответ будет не очень то красивый. Но, в целом то алгоритм работает. Метод Кардано, метод Феррари. Но, в связи с большой вычислительной сложностью задачи я не вижу смысла ее руками считать (на момент предложения Вам метода Лагранжа я не подумал об уравнении четвертой степени). Я помню, что как-то мы в университете разбирали какую-то подобную задачу, но у нее была алгебраическая формулировка и решали мы ее первым способом чисто алгебраическим, где не было столько вычислений. Но я формулировку и способ не помню. Потом то же самое сделали Лагранжем для сравнения. Может у этой задачи тоже есть какой-то алгебраический метод решения.
  ⇐ #31 ⇒   01 окт 2016 19:32   Ответить
👍
0
👎 0
Вот, Андрей Михайлович, картинку нарисовали, а простой вещи не приметили. Очевидно же из соображений симметрии, что прямая, проходящая через центры эллипсов делит отрезок (зеленой прямой), являющийся расстонием между эллипсами пополам. Из симметрии же очевидно, что эта точка пересечения — половина расстояния между центрами эллипсов.
Остается только найти расстояние от ИЗВЕСТНОЙ точки до известной кривой второго порядка. И никакого уравнения четвертой степени ))
  ⇐ #33 ⇒   13 дек 2017 13:25   Ответить
👍
0
👎 0
> Остается только найти расстояние от ИЗВЕСТНОЙ точки до известной кривой второго порядка. И никакого уравнения четвертой степени ))

Насколько я понимаю, расстояние от известной точки до эллипса, если эта точка эллипсу не принадлежит, это задача, в которой необходимо возникнет полиномиальное уравнение 4-й степени. Другими словами, симметрия тут никак не поможет, мы обречены решать уравнение 4-й степени (ну или задачу эквивалентную решению такого уравнения).
  ⇐ #34 ⇒   13 дек 2017 14:13   Ответить

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

● Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 08

Прямые и плоскости в пространстве   8 ответов

Плоскость Q, проходящая через ось Ox, образует угол в 30 градусов с осью Oy. Найдите координаты точки пересечения с плоскостью Q прямой, проходящей через точку с координатами (0;12;0) и перпендикулярной этой плоскости.
  26 мар 2017 18:31  
👍
0
👎 01

Наибольшее и наименьшее значение   1 ответ

Около прямоугольника описан эллипс, найти наименьшую площадь эллипса (площадь эллипса с полуосями a и b равна pi*a*b).
  11 янв 2014 20:26  
👍
+2
👎 21

Лиса и ветка   1 ответ

Вот ещё одна задача на смекалку (остихотворение моё. Ох, и влетит же мне от Евгении Павловны! :-)

ЛИСА И ВЕТКА

Плутовка рыжая нередко
Берёт в лесу зубами ветку,
Заходит в воду и сухою,
Как знамя, держит над рекою.

Доплыв почти до середины,
Бросает ветку на стремнину
И возвращается на сушу.
Зачем? Открой нам лисью душу!
  26 дек 2012 17:22  
👍
0
👎 07

Помогите по математике   7 ответов

задача №1:
единичные векторы a,b,c попарно образуют углы в 30 градусов.вычислите:1)|2a+b| и |c-2b|; 2)угол между векторами 2a+b и c-2b.
Задача № 2:
Найдите такие числа r и s, при которых вектор a-rb-sc перпендикулярен векторам и b и c,где a=(1;3;4),b=(1;1;0) и с=(0;1;1)
задача № 3
даны векторы a=(5;-2;3) и b=(3;-1;0).Вычислите координаты и длину вектора v=2(a-3b)
Задача № 4
Для параллелограмма ,встроенного на векторах AB=(4;4;-2)…
  21 мар 2013 12:55  
👍
0
👎 010

Теория вероятности ПОМОГИТЕ люди добрые   10 ответов

Из цифр 1; 2; 5; 4; 8; 9 выбирается наудачу одна, затем из остальных выбирается другая. Какова вероятность того, что сумма цифр равна 6
  22 ноя 2012 18:13  
👍
0
👎 01

В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 120 градусов   1 ответ

напишите решение пожалуйста
в правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 120 градусов. Отрезок соединяющий основание высоты пирамиды с серединой бокового ребра равен 3 см. Найти S полное поверхности пирамиды?

  14 май 2012 22:09  
ASK.PROFI.RU © 2020-2024