Периметр и длина окружности

Как доказать, что периметр треугольника больша длины вписанной окружности?

Отрубать углы, из треугольника — шестиугольник и т.д.. С каждым шагом периметр уменьшается и в пределе = длине окружности.

S(треугольника)> S(вписанного круга) — очевидно.
pr>Pir^2, p-полупериметр.
P>2Pir, P-периметр.

1. Это было бы верно, если бы ранее были доказаны формулы для площади и длины окружности. Причем в этих доказательствах не использовалось бы, ни прямо, ни косвенно, исходное утверждение.

А так — большая вероятность порождения замкнутого логического круга.

2. Рассуждения Красовского более симпатичные и опираются на полезную задачу — если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого многоугольника, то периметр внутреннего многоугольника меньше периметра внешнего. Но и в них дырка — то, что предел описанных многоугольников — это периметр окружности — факт неочевидный (вернее — менее очевидный, чем исходное утверждение).

На №4 — это вопрос, чтобы окончательно утопить Алину :) Почти любое "определение" длины окружности формально-дыряво (будучи, по своей сути, верным).

Согласна даже на дырявое. Но надо же иметь хоть что-то, чтобы понять, о чем мы говорим.

Если оно дырявое — то лучшее решение исходной задачи состоит из трех слов "это же очевидно" :)

Главная дырка — она в голове преподавателей, которые дают задачи, не понимая, зачем и почему они их дают. Предполагаю, что преподаватель ожидал рассуждение их №3, очевидные проблемы которого описаны в №5. Ну и зачем? Чтобы поиграть в бессмысленные тождественные преобразования?

Лучше вообще забить на определения и обоснования и постулировать, что:

1. длина и площадь у окружности имеются;
2. длина и площадь подобных с коэффициентом k фигур (имеющих длину и площадь) относится как k и k^2.

Почему № 3, а не № 2?

Сейчас я Вас удивлю.
Рассказ Ирен Ильиничны Аргинской (автора учебников математики для начальной школы по системе Занкова).
Открытый урок математики в 1классе, ближе к началу. Учитель решает посмотреть, что дети знают о фигурах и как мыслят. И рисует на доске (примерно, разумеется) равносторонний треугольник, квадрат, правильный пятиугольник и окружность. И спрашивает, какую фигуру здесь следует назвать "лишней".
Дети дружно отвечают, что круг.
А один мальчик подходит к доске и говорит примерно следующее: эта фигура не может быть лишней. Если мы будем увеличивать число сторон мы в конце концов получим (вот не помню, что он сказал — круг или даже окружность, наверное, все-таки круг).

Молодца!

Алина, а что такое длина окружности, как она определяется?

А это уже другая задача. Где (или кто?) у нас Алина

Это задача С из ГИА,я в 9 классе. Меня спрашивают, что такое длина окружности. Накладываю аккуратно на окружность ниточку, потом её распрямляю, прикладывю линейку. А есть еще какой-то приборчик, который саму длину окружности меряет, бегая по ней.
Так каково же доказательство верное, а то Вы меня совсем запутали. Формулы для площади круга и длины окружности я знаю.

Если для ГИА в 9 классе, то пользуясь знаниями и терминологией школьной программы, доступно для Вас только то, что объяснил в #3 Б,МК.

Приборчик называется курвиметр

#2 и #3. Выбирайте, что понятнее.

Доказать можно в 4 строчки)))

А вот никак не могу решить. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена высота CD. Найти стороны этого треугольника, если радиус окружности, вписанной в треугольник АВС равен 2, а периметр треугольника АСD равен 14,4.

В прямоугольном треугольнике MNK с вершины прямого угла K проведена высота KD. Найти наименьшую
сторону треугольника MNK, если радиус окружности, вписанной в треугольник MNK равен 2, а периметр
треугольника MKD равен 14,4.

В прямоугольном треугольнике MNK из вершины прямого угла К проведена высота KD. Найти наименьшую сторону треугольника MNK, если радиус окружности, вписанной в треугольник MNK равен 2, а периметр треугольника MKD равен 14,4.

АВС-равнобедренный треугольник,где АВ=ВС.Длина стороны АС в два раза меньше длины АВ.Периметр треугольника АВС равен 10 см.Найдите длины сторон треугольника

ну, хотя, это и не АнтиЕГЭ, поддержу пост Андрея Дмитриевича в знак уважения:

35. Середины высот треугольника лежат на одной прямой. Какое максимальное значение может принимать его площадь, если длина его наибольшей стороны равна 10?
34. Длины катетов прямоугольного треугольника равны 36 и 48. Найдите расстояние от центра окружности, вписанной в этот треугольник, до его высоты, проведенной к гипотенузе.