Отношения в треугольнике

На сторонах АС и ВС треугольника АВС расположены соответственно точки N и M так, что AN/CN=n, BM/CM=m. Прямые AM и BN пересекаются в точке О. Найти AO/OM, BO/ON.

AO/OM = n + n/m;
BO/ON = m + m/n;
CO/OK = 1/n + 1/m.

Ответы мне не помогут. Мне хотелось бы получить помощь(подсказки) к решению.

Подсказка — Учебник открыть.

Примените теорему Менелая.

Такого рода задачи есть в "Лекции и задачи по элементарной математике" Болтянский и др. Сам весной разбирал с учеником. Но там довольно сложное решение с дополнительными построениями.
Применение теоремы Менелая делает задачу простой арифметикой.
А Евгений опять выпендривается.

В случаях с заданными отношениями отрезков может помочь применение векторов. (Фактически в ходе решения выводится формула деления отрезка в заданном отношении, знание которой школьником не предполагается. Возможно, это уже не так.)
Обозначения:
[m]\frac{AO}{OM}=\lambda,\ \frac{BO}{ON}=\mu,\ \overrightarrow{CB}=\vec{a},\ \overrightarrow{CA}=\vec{b}.[/m]
Имеем,
[m]\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}=\frac{\vec{a}}{m+1}-\vec{b},[/m]
[m]\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{CN}-\overrightarrow{CB}=\frac{\vec{b}}{n+1}-\vec{a},[/m]
[m]\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})+\frac{\mu}{\mu+1}\overrightarrow{BN}=\frac{\vec{a}}{\mu+1}+\vec{b}\left (\frac{\mu}{(\mu+1)(n+1)}-1}\right ).[/m]
Так как [m]\overrightarrow{AO}=\frac{\lambda}{\lambda+1}\overrightarrow{AM},[/m]
получаем векторное уравнение
[m]\frac{\vec{a}}{\mu+1}+\vec{b}\left (\frac{\mu}{(\mu+1)(n+1)}-1}\right )=\frac{\lambda}{\lambda+1}\left ( \frac{\vec{a}}{m+1}-\vec{b}\right ),[/m]
равносильное системе уравнений
[m]\begin{cases} \frac{\lambda}{(\lambda+1)(m+1)}=\frac{1}{\mu+1}\\ -\frac{\lambda}{\lambda+1}=\frac{\mu}{(\mu+1)(n+1)}-1\end{cases}[/m]
Решая, получим
[m]\lambda=n+\frac{n}{m},\ \mu=m+\frac{m}{n}.[/m]

Сравните с применением теоремы Менелая: , отсюда сразу ответ.
Ваше решение сложнее , чем у Болтянского.

Эффективность применения этой теоремы справедливо было отмечено Юлией Сергеевной ещё в #4.
Да, в учебных заведениях с физико-математическим уклоном теоремы Чевы и Менелая традиционно включаются в учебную программу. В программу геометрии для СОШ, насколько знаю, — не входят. Впрочем, программа постоянно "модернизируется". Если дадите соответствующую ссылку на наличие упомянутых теорем (например, в учебнике Атанесяна), буду премного благодарен.

Через точку M проведены две прямые. Одна из них касается некоторой окружности в точке A, а вторая пересекает эту окружность в точках B и C, причём BC = 7 и BM = 9. Найдите AM.

Помогите, пожалуйста!
Геометрическое чутьё — как музыкальный слух. Ну не Аполлоний Пергский я...
Две окружности касаются внутренним образом в точке K, при этом меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L. Доказать, что CN:CM = LB:LA.

Дано: треугольник АВС, MN- средняя линия
А(1;3) B(4;0) N(3;-2)
Найти: AN, CM

Задача
На сторонах треугольника АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты точки K, L, M. Причем AK:KB=2:3; BL:LC=1:2; CM:MA=3:1.
В каком отношении отрезок KL делит отрезок BM?

Пытаюсь составить векторные уравнения, но не получается.

В трапеции АВСД через середину О диагонали АС проведена MN//BD, причем точка М принадл AB. а N — AD. Поделит ли площадь трапеции пополам 1) DM 2)BN