Олимпиада по математике

В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с прямым углом 𝐴 проведена высота 𝐴𝐻. Окружность, проходящая через точки 𝐴 и 𝐻, пересекает катеты 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Найдите длину отрезка 𝐴𝐶, если известно, что 𝐴𝑋=7, 𝐴𝑌=6, 𝐴𝐵=11.

https://www.geogebra.org/classic/kpxgsash Это не первая подобная задача, поэтому просто привожу поясняющий чертёж в GeoGebra.

AC/AB=AX/AY; AC=11*7/6=77/6.

На доске 5×5 отмечены центры всех 25 клеток. Доску разбивают на части прямолинейными разрезами, не проходящими через отмеченные точки, так, чтобы в каждой из них было не более одного центра клетки. Какого наименьшего числа разрезов для этого хватит?

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы её углов A и B пересекаются в точке M, а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке N. Найдите длину отрезка MN, если AB=5, BC=7, CD=8, AD=12.