прологарифмировать и расписать логарифмы. По идее уйдут все логарифмы кроме первого и последнего

После логарифмирования по основанию числа е, и представления в виде суммы, к каждому слагаемому применить неравенство ln(1+x)<x, a оценка сверху даст сумму убывающей геометрической прогрессии, которая равна 1. Т.е. ваше произведение не превышает е.

Верно, большое спасибо

Как ниже прокомментировано Сергеем Ивановичем, действительно до ответа можно дойти быстрее, применив неравенство 1+x<exp(x) к каждому из множителей.

... но если логарифмировать не хочется, то можно без него запросто обойтись, ведь каждый сомножитель не превышает величины exp((½)ⁿ).

Кажется, у меня получилось немного уточнить оценку.

Пример написанной программы, упоминающейся в решении, например, тут:
https://www.cyberforum.ru/algorithms/thread1332619.html


UPD: в решении пропущено, что количество бин. коэффициентов, оцененных сверху, может быть больше 1 вплоть до sqrt(2n), что немного меняет степень n в дальнейшем неравенстве, но дальнейшие рассуждения от этого не страдают.