👍 +2 👎 |
Математика С2На ребрах AB, BC и CD правильного тетраэдра ABCD с ребром 1 взяты такие точки K, L и M соответственно, что AK=0,5 BL=CM=1/3. Плоскость KLM пересекает прямую AD в точке N. Найти угол между NK и NL.
Не знаю, как решать. Подскажите, пожалуйста.
ЕГЭ по математике геометрия математика обучение
Татьяна
|
👍 +3 👎 |
Красивого решения я здесь не вижу. Много вычислений.
Проще всего, наверное, решать с помощью векторов. Возьмите три некомпланарных вектора, примите их за базисные, разложите по ним векторы NK и NL, найдите их скалярное произведение и поделите его на произведение модулей данных векторов. Получите косинус угла. Для упрощения вычислений базисные векторы лучше брать взаимно ортогональными (перпендикулярными). |
👍 0 👎 |
Да, я так тоже пыталась решать. Но не могу найти координаты точки N. Даже не знаю, как эти координаты можно найти.
|
👍 0 👎 |
Понятно.
Для начала нужно найти точку пересечения плоскости KLM с прямой BD. Назовем ее Р. Чему равна длина отрезка ВР? |
👍 0 👎 |
Верно! А теперь надо построить точку N как пересечение PK и AD и найти AN.
|
👍 +1 👎 |
Проведите через В прямую, параллельную РК. Пусть она пересекается с AD в т. Q. Обозначьте AN через х. Чему тогда равно NQ? Чему равно QD?
|
👍 0 👎 |
Верно, NQ=x.
А теперь рассмотрите треугольники PND BQD. QD/NQ = BD/BP |
👍 +1 👎 |
Итак. У меня получилось AN=1/5.
Задачу дорешала. У меня получилось cos a= sqrt(7/19). Вот такое некрасивое число. Большое Вам спасибо. Теперь попробую разобраться с теоремой Менелая. |
👍 0 👎 |
АN = 1/6
Проверьте свои вычисления |
👍 0 👎 |
Виноват, ошибся.
|
👍 0 👎 |
BP у вас точно не 1/3
|
👍 0 👎 |
1/3
|
👍 0 👎 |
Ceргей Александрович, очень нужно по заниматься с сыном. Откликниьесь, пож- та!
|
👍 0 👎 |
Татьяна, а ответ к этой задаче у вас есть. Я решала просто рассмотрев плоские задачи последовательно в плоскостях DCN, DNB и BCD. Скорее всего не самое эффективное решение, ну и ладно.
|
👍 0 👎 |
Нет, ответа у меня нет.
Да мне теперь хоть как-нибудь решить эту задачу. Пусть и не очень эффективно. |
👍 +1 👎 |
Вы x=AN и ND-то нашли как Вам Юлия Сергеевна написала? Если нет и продолжать в том же ключе, как Вам рассказывали, то воспользуйтесь теоремой Фалеса PKN и BQ параллельны, рассмотрите кроме угла QAB еще угол NDP. Или найдите теорему Менелая на википедии (ДЗ: докажите ее через Фалеса). И заодно в качестве упражнения ей предыдущее нахождение BP перепроверьте.
Далее Вам можно найти стороны в треугольнике LNK или LNP (из каких-нибудь других тр-ков, например с вершиной D) и искомый угол потом найдете по теореме косинусов. Второй способ через вектора, который Вам в самом начале советовали — выразить все через вектора a=DA, b=DB, c=DC и написать скалярное произведение NL*NK DM=2/3 с DK=1/2a + 1/2 b DL=2/3b + 1/3 c DN= y a где после нахождения y должно совпасть с 1-x из предыдущего решения N лежит с M,K,L в одной плоскости, значит LN линейно выражается через ML и MK: LN = p LM + q LK DN -DN = p(DM-DL) + q(DK-DL) выражаем все через a,b,c и находим из системы линейных уравнений y,p,q Далее NL*NK = |NL| |NK| * на косинус угла между ними квадрат длины |NL|^2 = NL*NL и с длиной |NK| аналогично. Раскрываем все скобки и пользуемся тем, что длины a,b,c известны и углы между ними тоже, значит a*a=b*b=c*c=1, a*b=b*c=c*a= sqrt(3)/2 |
👍 0 👎 |
последнюю строчку следует читать конечно ()косинус 60 градусов)
a*b=b*c=c*a=1/2 PS на этом форуме (как на некоторых других) есть опция для автора редактирования своих старых сообщений? Или все как на скрижалях или пока модеры не затрут? |
👍 0 👎 |
В задачах подобного рода очень быстрый способ определения положения точек на ребрах — применение теоремы Менелая.
В данной задаче ею можно воспользоваться, например, так. 1. Применим теорему Менелая для треугольника ABC и прямой KL. 2. Применим теорему Менелая для треугольника ADC и прямой MN. После этого положение точки N становится известным, и дальше все просто. |
👍 0 👎 |
Да, я там внутри про Менелая написал.Если ученик соображает, то он комбинирует известные ему методы из какого быстрее получить нужный ему промежуточный результат
|
👍 +1 👎 |
Прочитала в учебнике теорему Менелая. Что-то как-то запутано. А можно условие принадлежности точек одной прямой записать так:
(АС1/ВС1)*(ВА1/СА1)*(СВ1/АВ1)=1 ? Я с помощью такого условия быстренько всё нашла. Спасибо за подсказку! |
👍 +1 👎 |
Это и есть теорема Менелая.
Если хотите, могу привести короткое и понятное ее доказательство. |
👍 +1 👎 |
Огромное спасибо! Очень хочу! А то в учебнике что-то такое мутное, никак в голову не укладывается.
|
👍 0 👎 |
Планиметрия, подготовка к ЕГЭ
|
👍 0 👎 |
В прямоугольном треугольнике
|
👍 +2 👎 |
Задача по геометрии
|
👍 +2 👎 |
В остроугольном треугольнике
|