СПРОСИ ПРОФИ
👍
+2
👎 224

Математика С2

На ребрах AB, BC и CD правильного тетраэдра ABCD с ребром 1 взяты такие точки K, L и M соответственно, что AK=0,5 BL=CM=1/3. Плоскость KLM пересекает прямую AD в точке N. Найти угол между NK и NL.

Не знаю, как решать. Подскажите, пожалуйста.
ЕГЭ по математике геометрия математика обучение     #1   11 мар 2013 19:58   Увидели: 249 клиентов, 8 специалистов   Ответить
👍
+3
👎 3
Красивого решения я здесь не вижу. Много вычислений.
Проще всего, наверное, решать с помощью векторов.
Возьмите три некомпланарных вектора, примите их за базисные, разложите по ним векторы NK и NL, найдите их скалярное произведение и поделите его на произведение модулей данных векторов. Получите косинус угла.
Для упрощения вычислений базисные векторы лучше брать взаимно ортогональными (перпендикулярными).
👍
0
👎 0
Да, я так тоже пыталась решать. Но не могу найти координаты точки N. Даже не знаю, как эти координаты можно найти.
  #3   12 мар 2013 20:01   Ответить
👍
0
👎 0
Понятно.
Для начала нужно найти точку пересечения плоскости KLM с прямой BD.
Назовем ее Р. Чему равна длина отрезка ВР?
👍
0
👎 0
У меня получилось, что угол CML — прямой. ВР=1/3
  #5   12 мар 2013 22:15   Ответить
👍
0
👎 0
Верно! А теперь надо построить точку N как пересечение PK и AD и найти AN.
👍
0
👎 0
Построить-то построила. И всё. На этом затык.
  #7   12 мар 2013 22:28   Ответить
👍
+1
👎 1
Проведите через В прямую, параллельную РК. Пусть она пересекается с AD в т. Q. Обозначьте AN через х. Чему тогда равно NQ? Чему равно QD?
👍
0
👎 0
Тогда NQ=x, QD=1-2x.
  #11   13 мар 2013 08:07   Ответить
👍
0
👎 0
Верно, NQ=x.
А теперь рассмотрите треугольники PND BQD.
QD/NQ = BD/BP
👍
+1
👎 1
Итак. У меня получилось AN=1/5.
Задачу дорешала. У меня получилось cos a= sqrt(7/19). Вот такое некрасивое число. Большое Вам спасибо. :-)
Теперь попробую разобраться с теоремой Менелая.
  #19   16 мар 2013 17:28   Ответить
👍
0
👎 0
АN = 1/6
Проверьте свои вычисления
👍
0
👎 0
Виноват, ошибся.
👍
0
👎 0
BP у вас точно не 1/3
👍
0
👎 0
1/3
👍
0
👎 0
Ceргей Александрович, очень нужно по заниматься с сыном. Откликниьесь, пож- та!
👍
0
👎 0
Татьяна, а ответ к этой задаче у вас есть. Я решала просто рассмотрев плоские задачи последовательно в плоскостях DCN, DNB и BCD. Скорее всего не самое эффективное решение, ну и ладно.
👍
0
👎 0
Нет, ответа у меня нет.
Да мне теперь хоть как-нибудь решить эту задачу. Пусть и не очень эффективно.
  #12   13 мар 2013 08:09   Ответить
👍
+1
👎 1
Вы x=AN и ND-то нашли как Вам Юлия Сергеевна написала? Если нет и продолжать в том же ключе, как Вам рассказывали, то воспользуйтесь теоремой Фалеса PKN и BQ параллельны, рассмотрите кроме угла QAB еще угол NDP. Или найдите теорему Менелая на википедии (ДЗ: докажите ее через Фалеса). И заодно в качестве упражнения ей предыдущее нахождение BP перепроверьте.

Далее Вам можно найти стороны в треугольнике LNK или LNP (из каких-нибудь других тр-ков, например с вершиной D) и искомый угол потом найдете по теореме косинусов.

Второй способ через вектора, который Вам в самом начале советовали — выразить все через вектора a=DA, b=DB, c=DC и написать скалярное произведение NL*NK

DM=2/3 с
DK=1/2a + 1/2 b
DL=2/3b + 1/3 c
DN= y a
где после нахождения y должно совпасть с 1-x из предыдущего решения
N лежит с M,K,L в одной плоскости, значит LN линейно выражается через ML и MK:

LN = p LM + q LK
DN -DN = p(DM-DL) + q(DK-DL)

выражаем все через a,b,c и находим из системы линейных уравнений y,p,q

Далее NL*NK = |NL| |NK| * на косинус угла между ними
квадрат длины |NL|^2 = NL*NL и с длиной |NK| аналогично.
Раскрываем все скобки и пользуемся тем, что длины a,b,c известны и углы между ними тоже, значит a*a=b*b=c*c=1, a*b=b*c=c*a= sqrt(3)/2
👍
0
👎 0
последнюю строчку следует читать конечно ()косинус 60 градусов)
a*b=b*c=c*a=1/2

PS на этом форуме (как на некоторых других) есть опция для автора редактирования своих старых сообщений? Или все как на скрижалях или пока модеры не затрут? :)))
👍
0
👎 0
В задачах подобного рода очень быстрый способ определения положения точек на ребрах — применение теоремы Менелая.
В данной задаче ею можно воспользоваться, например, так.
1. Применим теорему Менелая для треугольника ABC и прямой KL.
2. Применим теорему Менелая для треугольника ADC и прямой MN.
После этого положение точки N становится известным, и дальше все просто.
👍
0
👎 0
Да, я там внутри про Менелая написал.Если ученик соображает, то он комбинирует известные ему методы из какого быстрее получить нужный ему промежуточный результат
👍
+1
👎 1
Прочитала в учебнике теорему Менелая. Что-то как-то запутано. А можно условие принадлежности точек одной прямой записать так:
(АС1/ВС1)*(ВА1/СА1)*(СВ1/АВ1)=1 ?
Я с помощью такого условия быстренько всё нашла. Спасибо за подсказку!
  #22   16 мар 2013 20:27   Ответить
👍
+1
👎 1
Это и есть теорема Менелая.
Если хотите, могу привести короткое и понятное ее доказательство.
👍
+1
👎 1
Огромное спасибо! Очень хочу! А то в учебнике что-то такое мутное, никак в голову не укладывается.
  #24   17 мар 2013 16:43   Ответить

Задайте свой вопрос по математике
профессионалам

Сейчас онлайн 75 репетиторов по математике
Получите ответ профи быстро и бесплатно

Другие вопросы на эту тему:

👍
0
👎 04

Планиметрия, подготовка к ЕГЭ   4 ответа

В трапеции ABCD отношение длин оснований AD и BC равно 3. Диагонали трапеции пересекаются в точке O, площадь треугольника AOB равна 6. Найдите площадь трапеции.

Знаю, что треугольники, образованные диагоналями и боковыми сторонами, равновеликие. Т.е. Площадь AOBравна площади COD. И площади треугольников AOD и BOC относятся как 3^2, т.е. 9. Как из этих данных вывести решение, не знаю.
  11 дек 2014 15:56  
👍
0
👎 012

В прямоугольном треугольнике   12 ответов

А вот никак не могу решить. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена высота CD. Найти стороны этого треугольника, если радиус окружности, вписанной в треугольник АВС равен 2, а периметр треугольника АСD равен 14,4.
👍
+2
👎 29

Задача по геометрии   9 ответов

Перпендикуляр к боковой стороне [m]AB[/m] трапеции [m]ABCD[/m], проходящей через её середину [m]K[/m], пересекает сторону [m]CD[/m] в точке [m]L[/m]. Известно, что площадь четырехугольника [m]AKLD[/m] в [m]5[/m] раз больше площади четырехугольника [m]BKLC[/m], [m]CL = 3[/m], [m]DL = 15[/m], [m]KC = 4[/m]. Найти длину отрезка [m]KD[/m].
👍
+2
👎 21

В остроугольном треугольнике   1 ответ

В остроугольном треугольнике [m]ABC[/m], площадь которого [m]10[/m], [m]AC = 5[/m], [m]tg(BAC) = 4[/m]. Найти величину угла между сторонами [m]AC[/m] и [m]BC[/m].
ASK.PROFI.RU © 2020-2024