Математика Олимпиада

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A проведена высота AH. Окружность, проходящая через точки A и H, пересекает катеты AB и AC в точках X и Y соответственно. Найдите длину отрезка AC, если известно, что AX=5, AY=6, AB=9.

AX / AB = AY / AC (треугольники AXY и ABC подобны по двум углам, XY = диаметр). AC = AB * AY / AX = 9*6/5=10,8

Что то не пойму по каким двум углам подобны?

Можно взять любые два угла. Прямой у них общий, а острые как соответственные при параллельных прямых. То, что прямые BC и XY параллельны очевидно из того, что XY — диаметр. BC — касательная

На доске 5×5 отмечены центры всех 25 клеток. Доску разбивают на части прямолинейными разрезами, не проходящими через отмеченные точки, так, чтобы в каждой из них было не более одного центра клетки. Какого наименьшего числа разрезов для этого хватит?

Для натуральных чисел a и b известно, что 2а + 7b делится на 89, аb также делится на 89. Чему равно наименьшее значение 3а + 2b? В ответ запишите это наименьшее значение.

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы её углов A и B пересекаются в точке M, а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке N. Найдите длину отрезка MN, если AB=5, BC=7, CD=8, AD=12.