Комбинаторика_свойство чисел Стирлинга 1-го рода_коэффициенты многочлена

Добрый день!

Можно ли обратиться к Вам по следующему вопросу? Как известно числа Стирлинга первого рода являются коэффициентами при обычных степенях при разложении факториальной степени на сумму обычных степеней. И это свойство чисел Стирлинга связано с циклической структурой подстановки. Можно для начала спросить у Вас, есть ли где-нибудь именно комбинаторное доказательство (а еще лучше объяснение, как например, комбинаторно объясняют биноминальные коэффициенты) данного свойства. Нашла информацию о том, что числа Стирлинга первого рода равны сумме всевозможных произведений n-k элементов из n элементов и не могу увидеть связи с циклическим представлением подстановки.