Итоговая работа 10 класс

Заполните вместо '?', чтобы получилась правильное решение.

Задача. У Кати есть носки с котиками, а есть с единорогами. При этом и те, и другие бывают четырёх разных цветов. Докажите, что из 9 носков обязательно найдётся пара.

Первое решение. По принципу Дирихле среди 9 носков найдутся либо хотя бы ? с котиками, либо хотя бы ? с единорогами. Без ограничения общности будем считать, что с котиками. По принципу Дирихле среди этих носков найдутся хотя бы ? одного цвета. Что и требовалось доказать.

Второе решение. Рассмотрим, сколько всего бывает разновидностей носков, то есть носков, у любых двух из которых отличается либо животные, либо цвет. Их всего ?. Тогда по принципу Дирихле найдутся хотя бы ? носка, у которых совпадают и животные, и цвет. Что и требовалось доказать.

5,5,2,8,2

5, 5, 2.
8, 2.

Заполните пропуски так, чтобы получилась лучшая оценка, которую можно получить при таком решении.

Задача. В школе учатся 100 учеников, каждый из них знаком не менее чем с 67 другими. Нужно оценить снизу значение k, при котором можно утверждать, что найдутся k человек, которые имеют одинаковое количество знакомых.

Решение. Количество знакомств у одного ученика может принимать значения от () до (), то есть всего вариантов значений (). Поэтому по принципу Дирихле у каких-то () из них будет одинаковое количество знакомых.


Вставить вместо () числа.