Ещё одна новогодняя задача.

Найти натуральное число [m]n<10,000,000[/m], такое, что в десятичной записи числа [m]n^{1,000,000}[/m] первые четыре цифры различны.

4 подойдет. Разумеется, это можно доказать без калькулятора.

Полагаю, Вы имели ввиду какое-то большее число, для которого это видно более просто.

Напишите доказательство, пожалуйста.

Для большего числа доказательство очевидно, для меньшего — придется посчитать десятичный логарифм 4-х с высокой точностью, что муторно, но не проблема.

1) Мне не очевидно.
2) Задачу требуется решить без использования калькуляторов, а в идеале — даже не пользуясь бумагой и ручкой.

1. Не прибедняйтесь — Вам тоже очевидно, как оценить скорость сходимости последовательности (1+1/n)^n — это про большее число, разумеется, его миллионная степень начинается так: 2718.......

2. Для вычисления логарифмов, с любой точностью, калькулятор не нужен, бумага с ручкой — желательны. Правда эта деятельность не имеет никакой практической или эстетической ценности.

Итого: наверное, Вам пора уже рассказать, что за число имели ввиду Вы — если для него все делается вообще устно — без бумаги и ручки.

Я не прибедняюсь. Я предложил задачу. Если Вы решили её — напишите решение так, чтобы не было сомнений, что Вы решили.
Собственно после #7 таких сомнений уже нет. Действительно, я имел в виду n=1000001. Первые четыре цифры степени равны 2718, и это можно увидеть устно. Оценивать скорость сходимости не обязательно: то, что миллионный член совпадает с пределом в 3-х знаках после запятой — в это можно поверить. (Но при желании оценить тоже можно устно — взять ln и разложить в ряд тейлора).

Но замечу, что здесь важна степень десятки. С другим большим числом так бы не получилось. Т.е. например 1234568^1234567 уже не начинается с цифр 2718. Именно поэтому я не понимал, что именно очевидно в #5.

Две проблемы.

Первая — круглый показатель степени делает задачу несколько искусственной, что Вы сами и признали во втор. абзаце №8. Поэтому, при не круглом показателе степени, придется, по любому, возиться с приближенным вычислением логарифмов и экспонент.

Вторая — чисел, удовлетворяющих решению задачи, очень много — процентов 45, наверное.

Это просто новогодняя задача, не надо рассматривать её как тему для исследований и относиться к ней слишком серьёзно.
Мне она очень понравилась, когда я её увидел. Именно своей искусственностью и неожиданностью решения: вначале кажется, что задача по теории чисел, и показатель 1000000 взят как-будто наугад. Привлечь к такой задаче экспоненту — на мой взгляд это нетривиальная мысль.
Но поскольку для Вас эта мысль оказалась очевидной, становится интересно узнать, кто Вы. Представьтесь пожалуйста, если можно.

Да это не я, а Вы относитесь к "задаче" слишком серьезно:)

А "послужной список" у нас в Вами почти совпадает — надо только физтех на мехмат поменять.

Жора, да хватит прикалываться. Все знают (да и ты тоже :)) кто скрывается под Анонимусом.
Тот же стиль и мания величия. Тут как себя не назови — ничего не изменится :)

???!!!...

Лучше мания величия, чем комплекс неполноценности.

А диагнозы, вообще-то, ставят в медицинском учреждении, у ВР есть соответствующая лицензия?

Анонимус (тоже получила информацию, кто Вы — от кого, не важно)!
Я публиковала новогодние задачи для детей (простые, но требующие некоторой глубины знаний), а не коллег с математическим образованием. Но одну из них хоть коллеги решили (правда, самого интересного решения не нашли), а вот вторую — пока никто даже идеи не кинул, только Вы поинтересовались, а как быть в с 2011, коли оно — простое число.

Может быть, вместо того, чтобы ссориться, Вы и Андрей Анатольевич напишите ее решение? :)))

Уважаемая Евгения Павловна!

Во-первых, я ни с кем не ссорился.

Во-вторых, моя анонимность липовая — все заинтересованные лица либо знают, кто я, либо думают, что знают:)

В-третьих, коли я поинтересовался, как быть с простыми числами — значит я знаю решение, так зачем его писать? (Вы решение тоже знаете, оставим коллегам (а, еще лучше, посетителям сайта) "на подумать").

Если Вы имеете ввиду какую-то другую задачу — скажите какую.

И, еще — либо мы обоюдно верим друг другу, либо доказываем очевидное :)

Я, разумеется, знаю то, что ряд для логарифма числа, очень близкого к единице, сходится очень быстро. И не прошу Вас доказать эту тривиальщину.

Однако, несложно найти последовательность, которая сходится значительно медленнее. Например, An=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+....+1/Pn, для n<=10000000000000=nmax и An=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+....+1/Pnmax+(1/Pnmax+1)^2+...+(1/Pn)^2 для n>nmax. Миллионный член даже близко к пределу не стоит.

Возможно, что-то вроде 1000001.

[m]2^{100}[/m]

коля петя артем и саша заняли в лыжной гонке первые четыре места.петя
отстал от победителя на 1с,но обогнал артема на 4с,коля отстал от саши на 4с. на сколько секунд победитель опередил мальчика ,пришедшего четвертым?.

Докажите, что существует число, кратное 1988, в десятичной записи которого участвуют только
нули и единицы.
(7-...кл.)

И задача с приятной формулировкой.

углы АОВ,ВОС,СОD, равны между собой,а угол АОD втрое меньше каждого из них. все лучи ОА,ОВ,ОС,ОD различны.найдите величену угла АОD перечислите все возможные варианты?!